Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (Grupo ACIRV)»
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| + | Se considera una varilla metálica que ocupa el intervalo $[0,1]$ y que se encuentra aislada por su superficie lateral, de manera que la conducción de calor solo se produce en la dirección longitudinal. La temperatura inicial de la varilla es $10^{\circ}C$. En el extremo derecho se consigue mantener la temperatura a $10^{\circ}C$ mientras que en el izquierdo la temperatura es siempre de $1^{\circ}C$. | ||
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| + | El sistema que modeliza el comportamiento de la temperatura, representada por la función $u(x,t)$, es el siguiente: | ||
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| + | u_t - u_{xx} & = 0 & 0<x<1, & t>0 \\ | ||
| + | u(0,t)& = 1 & t>0\\ | ||
| + | u(1,t) & = 10 & t>0\\ | ||
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| + | Puesto que no es un sistema homogéneo, debemos encontrar primero la solución estacionaria. Es decir, suponemos que $t \rightarrow \infty$ (la solución ya no varía en el tiempo). | ||
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| + | La solución obtenida es: | ||
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| + | \[v(x) = 9x +1\] | ||
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| + | Una vez calculada la solución estacionaria, homogeneizamos el sistema definiendo la ecuación $w(x,t) = u(x,t) - v(x)$. | ||
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| + | \begin{array}{llll} | ||
| + | w_t - w_{xx} & = 0 & 0<x<1, & t>0 \\ | ||
| + | w(0,t)& = 0 & t>0\\ | ||
| + | w(1,t) & = 0 & t>0\\ | ||
| + | w(x,0) &= 9(1-x) & 0<x<1 | ||
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| + | Resolviendo mediante el método de separación de variables y por superposición de soluciones, obtenemos la siguiente solución: | ||
Revisión del 19:26 16 mar 2025
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor (Grupo ACIRV). |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Ángela Sotelo Fernández, Carmen Doñoro Molina, Inés Torres Gómez, Rubén Gutiérrez Hernández, Violeta Luján Barrios. |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
2 Modelización de la ecuación del calor con una dimensión
En primer lugar vamos a resolver el siguiente problema de manera analítica, para después comparar su solución con la obtenida numéricamente.
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Se considera una varilla metálica que ocupa el intervalo $[0,1]$ y que se encuentra aislada por su superficie lateral, de manera que la conducción de calor solo se produce en la dirección longitudinal. La temperatura inicial de la varilla es $10^{\circ}C$. En el extremo derecho se consigue mantener la temperatura a $10^{\circ}C$ mientras que en el izquierdo la temperatura es siempre de $1^{\circ}C$.
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El sistema que modeliza el comportamiento de la temperatura, representada por la función $u(x,t)$, es el siguiente:
\[ \left \{ \begin{array}{llll} u_t - u_{xx} & = 0 & 0<x<1, & t>0 \\ u(0,t)& = 1 & t>0\\ u(1,t) & = 10 & t>0\\ u(x,0) &= 10 & 0<x<1 \end{array} \right . \]
Puesto que no es un sistema homogéneo, debemos encontrar primero la solución estacionaria. Es decir, suponemos que $t \rightarrow \infty$ (la solución ya no varía en el tiempo).
La solución obtenida es:
\[v(x) = 9x +1\]
Una vez calculada la solución estacionaria, homogeneizamos el sistema definiendo la ecuación $w(x,t) = u(x,t) - v(x)$.
\[ \left \{ \begin{array}{llll} w_t - w_{xx} & = 0 & 0<x<1, & t>0 \\ w(0,t)& = 0 & t>0\\ w(1,t) & = 0 & t>0\\ w(x,0) &= 9(1-x) & 0<x<1 \end{array} \right . \]
Resolviendo mediante el método de separación de variables y por superposición de soluciones, obtenemos la siguiente solución:
