Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (PPAD)»

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{{ TrabajoED | Ecuación del calor (Grupo PPAD). | [[:Categoría:EDP|EDP]]|[[:Categoría:EDP24/25|2024-25]] | Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos}}
 
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== Problema == 
 
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== Ecuación de Calor con Condiciones de Contorno de Dirichlet ==
 
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=== Planteamiento del Problema ===
 
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Necesitamos resolver el siguiente sistema:
 
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* $u_t - u_{xx} = 0$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$
 
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* $u(0,t) = 1$ para $t > 0$
 
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* $u(1,t) = 10$ para $t > 0$
 
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* $u(x,0) = 10$ para $x \in (0,1)$
 
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=== Solución Estacionaria ===
 
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La solución estacionaria $v(x)$ cuando $t \rightarrow \infty$ satisface:
 
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* $v''(x) = 0$
 
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* $v(0) = 1$
 
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* $v(1) = 10$
 
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Esto nos da $v(x) = ax + b$ donde $a,b \in \mathbb{R}$
 
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De las condiciones de contorno:
 
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* $v(0) = b = 1$
 
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* $v(1) = a + 1 = 10$, por lo tanto $a = 9$
 
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Por tanto, $v(x) = 9x + 1$ para $x \in (0,1)$
 
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=== Cambio de Variable ===
 
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Hacemos el cambio de variable dependiente $w(x,t) = u(x,t) - v(x)$, luego $w$ es solución de:
 
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* $w_t - w_{xx} = 0$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$
 
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* $w(0,t) = 0$ para $t > 0$
 
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* $w(1,t) = 0$ para $t > 0$
 
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* $w(x,0) = -9x + 9$ para $x \in (0,1)$
 
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=== Solución por Separación de Variables ===
 
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Resolvemos por separación de variables, obteniendo:
 
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$w(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$ para $x \in (0,1)$, $t > 0$
 
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Luego, $u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} B_n e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$ donde $B_n = \frac{18}{n\pi}$
 
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Por tanto, la solución completa es:
 
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$u(x,t) = 9x + 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{18}{n\pi} e^{-n^2\pi^2t} \sin(n\pi x)$
 

Revisión del 13:30 15 mar 2025

Trabajo realizado por estudiantes
Título Ecuación del calor (Grupo PPAD).
Asignatura EDP
Curso 2024-25
Autores Pablo Vidal Nacle, Pablo Maestro Fernández, Alex Heredero Santamaría, Diego Moñino Vizmanos
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura
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