Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (PPAD)»

Revisión del 13:18 15 mar 2025

1 Planteamiento del problema

Se tiene el siguiente sistema:

Condiciones iniciales y de frontera:

ecuación del calor:

u_t - u_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0

Condiciones de frontera:

u(0,t) = 1 \quad t > 0

u(1,t) = 10 \quad t > 0

Condición inicial:

u(x,0) = 10 \quad x \in (0,1)

2 Solución estacionaria

Calculamos la solución estacionaria \( v(x) \) de la forma \( u(x,t) = v(x) + w(x,t) \), de esta forma cuando \( t \to \infty \), \( w \to 0 \) y \( v \) será solución de:

v(x) = 0

v(0) = 1

v(1) = 10

Resolviendo:

v(x) = ax + b

Donde \( v(0) = b = 1 \) y \( v(1) = a + 1 = 10 \), por lo que \( a = 9 \), entonces:

v(x) = 9x + 1 \quad x \in (0,1)

3 Resolución de la ecuación homogénea

Realizamos el cambio de variable \( w(x,t) = u(x,t) - v(x) \), con lo que el sistema queda:

w_t - w_{xx} = 0 \quad x \in (0,1), \ t > 0

w(0,t) = 0 \quad t > 0

w(1,t) = 0 \quad t > 0

w(x,0) = -9x + 9 \quad x \in (0,1)

Aplicamos separación de variables y obtenemos la solución:

w(x,t) = \sum_Plantilla:N=1^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x)

Por lo que la solución completa es:

u(x,t) = 9x + 1 + \sum_Plantilla:N=1^{\infty} B_n e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x)

Calculando \( B_n \):

B_n = \frac{18}{n \pi}

Por lo que la solución final queda expresada como:

u(x,t) = 9x + 1 + \sum_Plantilla:N=1^{\infty} \frac{18}{n \pi} e^{-n^2 \pi^2 t} \sin(n \pi x)