Revisión del 17:37 12 feb 2025

1 . Introducción

Se define el espacio de Hilbert [math]L^2(a,b)[/math] como:

donde [math] a,b \in \mathbb{R} [/math] y [math] a \lt b [/math]. [math]L^2(a,b)[/math] es un espacio vecotrial con producto escalar asociado:

Esta construcción del espacio [math] L^{2} [/math] motiva plantear la posibilidad de definir una base numerable que permita expresar todos los elementos del espacio en función de los elementos de la base.

2 . Base trigonométrica

Tal y como se ha definido en la introducción, consideramos el espacio [math]L^2(-\pi,\pi)[/math]. En éste se define la base numerable [math] \beta [/math] dada por los siguientes elementos:

que se conoce como referencia de Fourier trigonométrica.

3 . Aproximación de una función por la base trigonométrica

definida en el intervalo [-2,3], se busca aproximar f mediante la base trigonométrica del espacio [math]L^2(-2,3)[/math].

Consideramos el espacio de Hilbert \( L^2(- \pi, \pi) \) con el producto interno \( \langle \cdot, \cdot \rangle_{L^2} \). En este espacio tomamos la referencia de Fourier trigonométrica:

Si consideramos ahora el espacio \( L^2(a, b) \), buscamos una base ortonormal (referencia de Fourier) en este espacio. Para ello, hacemos el cambio de variable:

De esta manera, \( h(x) \in [-\pi, \pi] \), lo que permite trasladar la base ortonormal del espacio \( L^2(- \pi, \pi) \) al nuevo intervalo \( [a, b] \).

Bajo este cambio de variable, una función \( f(x) \) en \( L^2(a,b) \) se puede expresar como:

donde el coeficiente \( d_0 \) es:

para que su norma sea 1, pues:

De esta forma, obtenemos la base de Fourier de \( L^2(a,b) \):

Para preservar la ortonormalidad en \( L^2(a,b) \), los senos y cosenos han sido normalizados con el factor:

para los términos trigonométricos.

Esto se puede reescribir como:

Sea la función \( f(x) = x e^{-x} \). Se verifica que \( f(x) \in L^2(-2,3) \), pues:

Dado que \( f(x) \) es continua y satisface la condición de Dirichlet, su desarrollo en serie de Fourier converge a la función en los puntos de continuidad y en los extremos. Así, se tiene:

Calculemos ahora los coeficientes de la serie de Fourier

El coeficiente \( d_0 \) se obtiene como:

Para los coeficientes \( d_n \):

Para los coeficientes \( d_m \):

De esta forma, se puede aproximar la función f mediante los primeros 5, 10 y 20 términos de su desarrollo en la serie de Fourier, empleando el siguiente código de python

Aproximación de Fourier de la función extendida [math] xe^{-x} [/math]

Error absoluto entre la función [math] xe^{-x} [/math] y su aproximación de Fourier

from tqdm import tqdm
import sympy as sp
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
e=0
n=5
l=0

for i in tqdm(range(1,n)): 
    # Definir la variable x
    x = sp.symbols('x')

    # Definir la función a integrar
    integrand =(math.sqrt(2)/math.sqrt(5))* x * sp.exp(-x)*sp.cos(i * ((2*sp.pi*x-sp.pi)/5))

    # Calcular la integral de la función en el intervalo [-2, 3]
    integral_result = sp.integrate(integrand, (x, -2, 3))
    integrand2 = (math.sqrt(2)/math.sqrt(5))* x * sp.exp(-x)*sp.sin(i * ((2*sp.pi*x-sp.pi)/5))

    # Calcular la integral de la función en el intervalo [-2, 3]
    integral_result2 = sp.integrate(integrand2, (x, -2, 3))
    e=e+integral_result*(math.sqrt(2)/math.sqrt(5))*sp.cos(i * ((2*sp.pi*x-sp.pi)/5))
    l=l+integral_result2*(math.sqrt(2)/math.sqrt(5))*sp.sin(i * ((2*sp.pi*x-sp.pi)/5))
    
    
d0=-(4+sp.exp(5))/(math.sqrt(5)*sp.exp(3))

f=d0/math.sqrt(5)+e+l

f_numeric = sp.lambdify(x, f, "numpy")

# Definir la función f(x) = x * exp(-x)
def f(x):
    return x * np.exp(-x)

# Generar valores de x en el rango [-2, 3]
x_vals = np.linspace(-2, 3, 1000)
y_vals = f(x_vals)

# Aproximación de Fourier (f_numeric debe estar definida previamente)
y_fourier = f_numeric(x_vals)

# Calcular el error
error_vals = np.abs(y_vals - y_fourier)

# Crear el gráfico de la función y su aproximación
plt.figure(figsize=(6,4))
plt.plot(x_vals, y_vals, label=r'$f(x) = x e^{-x}$',linestyle='dashed', color='b')
plt.plot(x_vals, y_fourier, label=f"Aproximación n={n}", color='r')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.title("Comparación entre f(x) y su Aproximación de Fourier")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

# Gráfico del error
plt.figure(figsize=(6,4))
plt.plot(x_vals, error_vals, label="Error Absoluto", color='g')
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Error")
plt.title("Error entre f(x) y su aproximación de Fourier")
plt.legend()
plt.grid()
plt.show