Revisión del 14:18 9 feb 2025

Una serie de Fourier (en honor al matemático Jean-Baptiste Joseph Fourier) consta de una suma infinita de funciones sinusoidales definidas en un dominio [math] \Omega \subseteq \mathbb{R}^n [/math] que convergen a una cierta función [math] f(x) [/math]. En el ámbito del análisis funcional, las series de Fourier son una poderosa herramienta capaz de descomponer cualquier función periódica definida sobre un cierto dominio como una combinación lineal de infinitas funciones sinusoidales. Poseen numerosas aplicaciones en física e ingeniería, relacionadas con el procesamiento de señales acústicas, análisis vibratorio y compresión de datos, entre otras.

En el espacio de Hilbert [math] L^2([-T,T]) = \{f : [-T,T] \rightarrow \mathbb{R} : \int_{-T}^{T} |f(x)|^2 \, dx \lt \infty\} [/math] se define un producto escalar [math] \langle f_1, f_2 \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot g(x) \, dx[/math] y las funciones sinusoidales forman una base ortonormal

[math] B = \Biggl\{ \dfrac{1}{\sqrt{2T}}\Biggr\} \cup \Biggl\{ \dfrac{1}{\sqrt{T}} \cdot \cos{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \Biggr\}_{n \in \mathbb{N}} \cup \Biggl\{ \dfrac{1}{\sqrt{T}} \cdot \sin{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \Biggr\}_{n \in \mathbb{N}} [/math],

y una función [math] f(x) [/math] se descompone como

[math] f(x) \sim \dfrac{d_0}{\sqrt{2T}} + \sum^{\infty}_{n=1} d_n \cdot \cos{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} + \sum^{\infty}_{n=1} c_n \cdot \sin{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} [/math],

Primeros diez términos de la Base Trigonométrica

donde

• [math] d_0 = \bigl \langle f, \dfrac{1}{\sqrt{2T}} \bigr \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2T}} \, dx [/math]
• [math] d_n = \bigl \langle f, \cos{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \bigr \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \cos{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \, dx [/math]
• [math] c_n = \bigl \langle f, \sin{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \bigr \rangle = \int_{-T}^{T} f(x) \cdot \sin{\left( \dfrac{n \pi x}{T}\right)} \, dx [/math].
  
  

(SUBIR CÓDIGO DEL EJERCICIO 1)

1 Aproximación de una función continua

f = @(x) 1 - 2*abs(1/2 - x); % Función f(x)
fext = @(x) sign(x).*(1 - 2*abs(1/2 - sign(x).* x)); % Extensión impar de f(x)
a = -1; b = 1;               % Extremos del intervalo [-1,1]
h = 1e-2;                    % Discretización
XX = linspace(a,b,(b-a)/h);  % Linspace de 2000 puntos en [-1,1]

% Utilizamos la regla del trapecio para aproximar los ci

nn = [1 5 10];

for j=1:length(nn)

    n = nn(j);
    c = zeros(1,n);
    s = @(x) 0;      % Aproximación de f por senos
    
    N = 1000;        % Nº de puntos 
    c = 0; d = 1;    % Extremos del intervalo [0,1]
    h2 = (d-c)/N;    % Discretización
    u = c:h2:d;      % Linspace en [0,1]
    w = ones(N+1,1); % Vector de los pesos
    w(1) = 1/2; w(end) = 1/2;
    
    for i = 1:n
        GG = f(u).*sin(i*pi*u);   % Función f * sin(npix) discretizada
        c(1,i) = 2 * h2 * GG * w; % Coeficiente i-ésimo de la serie de Fourier
        s = @(x) s(x) + c(1,i)*sin(i*pi*x);
    end
    
    subplot(2,3,j)
    hold on; grid on
    plot(XX,fext(XX))
    plot(XX,s(XX))
    title(strcat('n=',num2str(nn(j))))
    legend('Extensión impar de f(x)','Serie de Fourier de f(x)','Location','southeast')
end

2 Base trigonométrica compleja