Revisión del 14:16 8 dic 2024

Trabajo F: Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

Introducción

En este trabajo vamos a estudiar y aplicar las denominadas coordenadas cilíndricas parabólicas, que se denotan por (u, v, z). Estas tienen la siguiente relación con las coordenadas cartesianas (x₁, x₂, x₃):

[math] \left\{ \begin{aligned} x_1 &= \frac{u^2 - v^2}{2}, \\ x_2 &= uv, \\ x_3 &= z, \end{aligned} \right. [/math]

donde u > 0.

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son una generalización de las coordenadas cilíndricas estándar y extienden un cambio de coordenadas en R² a todo el espacio R³. A continuación, se presentan los cálculos, representaciones y aplicaciones.

Contenido 1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) 2 Velocidades de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\) 3 Matrices de Cambio de Base 4 Expresar el campo posicion \(\vec{r}\) en el sistema cilindrico parabolico 5 Gradiente de un campo escalar 6 Divergencia 7 Rotacional 8 Superficies de nivel 9 Calculo de la curvatura 10 Uso de la parábola en ingeniería

Figura 1: Coordenadas Cilindricas Parabolicas.

1 Parametrizaciones de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

Líneas coordenadas en cartesianas:

• \(\gamma_u\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{t^2 - v^2}{2}, tv, z \right)[/math], con t variable y v, z constantes.
• \(\gamma_v\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - t^2}{2}, ut, z \right)[/math], con t variable y u, z constantes.
• \(\gamma_z\): [math](x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, uv, t \right)[/math], con t variable y u, v constantes.

Código MATLAB y representación

Figura 2: Líneas coordendas.

clear,clc
%Parametrizaciones de las lineas coordenadas
u = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de u
v = linspace(0.1, 2, 50); % Valores de v
%Dibujo de las lineas coordenadas
figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u, con v fijo)
v_fixed = 1;
x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
x2_u = u .* v_fixed;
plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);

% Curvas gamma_v (variando v, con u fijo)
u_fixed = 1;
x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
x2_v = (u_fixed) .* v;
plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);

% Estilo del gráfico
title('Líneas coordenadas en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Líneas gamma_u (u varía)', 'Líneas gamma_v (v varía)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

Código MATLAB y representación

Figura 3: Líneas coordendas.

% Inicialización
clear; clc;

% Definición de rangos
u_vals = linspace(0.1, 2, 5); % Valores de u para curvas gamma_u
v_vals = linspace(0.1, 2, 5); % Valores de v para curvas gamma_v

% Preparación del gráfico
figure;
hold on;

% Curvas gamma_u (variando u con v fijo para diferentes valores de v_fixed)
for v_fixed = v_vals
    u = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de u
    x1_u = (u.^2 - v_fixed^2) / 2;
    x2_u = u .* v_fixed;
    plot(x1_u, x2_u, 'r', 'LineWidth', 1.5);
end

% Curvas gamma_v (variando v con u fijo para diferentes valores de u_fixed)
for u_fixed = u_vals
    v = linspace(0.1, 2, 100); % Resolución de v
    x1_v = (u_fixed^2 - v.^2) / 2;
    x2_v = u_fixed .* v;
    plot(x1_v, x2_v, 'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Configuración del gráfico
title('Familias de curvas de nivel \gamma_u y \gamma_v');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'Curvas \gamma_u (u varía)', 'Curvas \gamma_v (v varía)'});
grid on;
axis equal;
hold off;

2 Velocidades de las líneas coordenadas \(\gamma_u\), \(\gamma_v\) y \(\gamma_z\)

Cálculos: Los campos velocidad de las líneas coordenadas son:

• Para [math]\gamma'_u[/math]:

[math]\gamma'_u = \left( u, v, 0 \right) \Rightarrow \gamma'_u = v \vec{i} + u \vec{j}.[/math].

• Para [math]\gamma'_v[/math]:

[math]\gamma'_v = \left( -v, u, 0 \right) \Rightarrow \gamma'_v = u \vec{i} - v \vec{j}.[/math].

• Para [math]\gamma'_z[/math]:

[math]\gamma'_z = \left( 0, 0, 1 \right) \Rightarrow \gamma'_z = \vec{k}[/math].

Factores de escala: Los factores de escala h_u, h_v, h_z son los módulos de los campos velocidad:

[math] h_u = |\gamma_u'(u)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = |\gamma_v'(v)| = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = |\gamma_z'(z)| = 1. [/math]

Vectores tangentes: Los vectores tangentes unitarios son:

• [math]\mathbf{e}_u = \frac{\gamma'_u}{h_u} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, v, 0 \right)[/math],
• [math]\mathbf{e}_v = \frac{\gamma'_v}{h_v} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( -v, u, 0 \right)[/math],
• [math]\mathbf{e}_z = \left( 0, 0, 1 \right)[/math].

Código MATLAB y representación:

Figura 4: Vectores unitarios Eu Ev.

clear,clc,clf
% Punto de interés
u = 1;
v = 1;

% Vectores unitarios en ese punto
h = sqrt(u^2 + v^2);
eu = [u/h, v/h, 0]; % Vector e_u
ev = [-v/h, u/h, 0]; % Vector e_v

% Coordenadas cartesianas de las líneas coordenadas en el plano z = 0
x1_u = (u.^2 - v.^2) / 2;
x2_u = u .* v;

% Gráfico
figure;
hold on;
quiver(x1_u, x2_u, eu(1), eu(2), 'r', 'LineWidth', 1.5);
quiver(x1_u, x2_u, ev(1), ev(2), 'b', 'LineWidth', 1.5);
plot(x1_u, x2_u, 'k--', 'LineWidth', 1); % Línea coordenada
title('Vectores unitarios en el plano z = 0');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');
legend({'e_u', 'e_v'});
grid on;
axis equal;
hold off;

Comprobación de Ortonormalidad

Para comprobar que estos vectores forman una base ortonormal:

Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_v\) = [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( v, u, 0 \right)\cdot\frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, -v, 0 \right)=0[/math]

Producto escalar \(\vec{e}_u \cdot \vec{e}_z\)= [math]\frac{1}{\sqrt{v^2 + u^2}} \left( v, u, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

Producto escalar \(\vec{e}_v \cdot \vec{e}_z\)=[math] \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \left( u, -v, 0 \right)\cdot\left( 0, 0, 1 \right)=0[/math]

Asimismo, teniendo en cuenta que los módulos cumplen | \(\vec{e}_u | = | \vec{e}_v | = | \vec{e}_z | = 1 \), son vectores unitarios.

Conclusión
Al cumplirse los puntos anteriores, se afirma que los vectores \(\{\vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z\}\) forman una base ortonormal.

3 Matrices de Cambio de Base

Las matrices permiten transformar entre las bases cilíndrica parabólica y cartesiana.

• La matriz \( Q \) transforma las coordenadas de la base \(\{e_u, e_v, e_z\}\) al sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\).

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & -\frac{v}{h_v} & 0 \\ \frac{v}{h_u} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

[math] Q = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

• La matriz inversa \( Q^{-1} \) permite transformar vectores en el sistema cartesiano \(\{i, j, k\}\) al sistema cilíndrico parabólico \(\{e_u, e_v, e_z\}\).

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{h_u} & \frac{v}{h_u} & 0 \\ -\frac{v}{h_v} & \frac{u}{h_v} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

[math] Q^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ -\frac{v}{\sqrt{u^2 + v^2}} & \frac{u}{\sqrt{u^2 + v^2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} [/math]

4 Expresar el campo posicion \(\vec{r}\) en el sistema cilindrico parabolico

Figura 5: Campo Posicion

Las coordenadas cilíndricas parabólicas son un sistema de coordenadas en el espacio tridimensional \( \mathbb{R}^3 \) que generaliza las coordenadas polares en el plano a la tercera dimensión, mediante una parábola. Estas coordenadas se denotan como \( (u, v, z) \), y su relación con las coordenadas cartesianas \( (x_1, x_2, x_3) \) es la siguiente:

[math] x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z. [/math]

Factores de escala

Los factores de escala \( h_u, h_v, h_z \) asociados con las coordenadas \( u, v, z \) son:

[math] h_u = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1. [/math]

Derivadas parciales de las coordenadas cartesianas

Las derivadas parciales de las coordenadas cartesianas \( x_1, x_2, x_3 \) con respecto a las coordenadas \( u, v, z \) son las siguientes:

[math] \frac{\partial x_1}{\partial u} = u, \quad \frac{\partial x_1}{\partial v} = -v, \quad \frac{\partial x_1}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_2}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial x_2}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial x_2}{\partial z} = 0 [/math]

[math] \frac{\partial x_3}{\partial u} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial v} = 0, \quad \frac{\partial x_3}{\partial z} = 1. [/math]

Matriz de cambio de base

La matriz de cambio de base \( Q^{-1} \) que convierte las coordenadas cartesianas a las coordenadas cilíndricas parabólicas se expresa como:

[math] Q^{-1} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + v^2}} \begin{bmatrix} u & v & 0 \\ -v & u & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{u^2 + v^2} \end{bmatrix}. [/math]

Esta matriz es utilizada para transformar las coordenadas cartesianas en las correspondientes coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico.

Transformación de las coordenadas cartesianas a coordenadas \( (u, v, z) \)

La multiplicación de \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \), dado por:

[math] \vec{r} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{u^2 - v^2}{2} \\ uv \\ z \end{bmatrix}, [/math]

produce las coordenadas \( r_u, r_v, r_z \) en la base \( \{ \vec{e}_u, \vec{e}_v, \vec{e}_z \} \). La multiplicación de la matriz \( Q^{-1} \) por el vector \( \vec{r} \) da como resultado:

[math] r_u = \frac{u^3 + u v^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Conclusión

Las coordenadas en el sistema cilíndrico parabólico \( (u, v, z) \) se obtienen mediante la multiplicación de la matriz inversa \( Q^{-1} \) por el vector de coordenadas cartesianas \( \vec{r} \). Esta transformación es útil para la resolución de problemas en los cuales las coordenadas cartesianas no son las más adecuadas, y se busca simplificar los cálculos utilizando coordenadas especializadas en geometrías parabólicas.

5 Gradiente de un campo escalar

El gradiente de un campo escalar en coordenadas cilíndricas parabólicas es:

Se nos pide calcular el gradiente del campo escalar \( f(x_1, x_2, x_3) = x_2 \) en el punto cartesiano \( (x_1, x_2, x_3) = (0, 1, 1) \).

Transformación de las coordenadas

Sabemos que \( x_2 = uv \), por lo que en términos de \( (u, v, z) \), la función se transforma como sigue:

[math] f(u, v, z) = uv. [/math]

Cálculo de las derivadas parciales Las derivadas parciales de \( f(u, v, z) = uv \) son:

[math] \frac{\partial f}{\partial u} = v, \quad \frac{\partial f}{\partial v} = u, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = 0. [/math]

Cálculo del gradiente \( \nabla f \) El gradiente de \( f \) en coordenadas \( (u, v, z) \) es:

[math] \nabla f = \frac{1}{h_u} \frac{\partial f}{\partial u} \mathbf{e_u} + \frac{1}{h_v} \frac{\partial f}{\partial v} \mathbf{e_v} + \frac{1}{h_z} \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{e_z}. [/math]

Sustituyendo las derivadas parciales:

[math] \nabla f = \frac{v}{u^2 + v^2} \mathbf{e_u} + \frac{u}{u^2 + v^2} \mathbf{e_v}. [/math]

Cálculo de las coordenadas \( (u, v, z) \) Las coordenadas \( (u, v, z) \) se obtienen de las ecuaciones de transformación:

[math] x_1 = \frac{u^2 - v^2}{2}, \quad x_2 = uv, \quad x_3 = z. [/math]

Para el punto \( (x_1, x_2, x_3) = (0, 1, 1) \):

[math] uv = 1, \quad \frac{u^2 - v^2}{2} = 0 \quad \Rightarrow \quad u^2 = v^2. [/math]

Por lo tanto:

[math] u = 1, \quad v = 1, \quad z = 1. [/math]

Sustitución en el gradiente

En el punto \( (u, v, z) = (1, 1, 1) \):

[math] h_u = h_v = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad e_u = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right), \quad e_v = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right). [/math]

Sustituyendo en el gradiente:

[math] \nabla f = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right) + \frac{1}{\sqrt{2}} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right). [/math]

Sumando las componentes:

[math] \nabla f = (0, 1, 0). [/math]

Resultado El gradiente de \( f \) en el punto cartesiano \( (0, 1, 1) \) es:

[math] \nabla f = (0, 1, 0). [/math]

6 Divergencia

La divergencia en este sistema es: [math] \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \left[ \frac{\partial}{\partial u}(h_v h_z F_u) + \frac{\partial}{\partial v}(h_u h_z F_v) + \frac{\partial}{\partial z}(h_u h_v F_z) \right]. [/math]

Ejemplo: calcular la divergencia del campo posición.

Figura 6: Divergencia del campo posición.

Figura 7: Campo vectorial y divergencia en coordenadas cilíndrico-parabólicas.

Divergencia del campo vectorial en coordenadas cilíndrico-parabólicas

La divergencia de un campo vectorial \( \mathbf{r} \) en coordenadas cilíndrico-parabólicas se define como:

[math] \nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) \right] + \frac{\partial r_z}{\partial z}. [/math]

Donde las componentes del campo vectorial \( \mathbf{r} \) son:

[math] r_u = \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad r_z = z. [/math]

Paso 1: Derivada respecto a \( u \)

Calculamos la derivada parcial de \( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \) respecto a \( u \):

[math] \frac{\partial}{\partial u} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_u \right) = \frac{3u^2 + v^2}{2}. [/math]

Paso 2: Derivada respecto a \( v \)

Calculamos la derivada parcial de \( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \) respecto a \( v \):

[math] \frac{\partial}{\partial v} \left( \sqrt{u^2 + v^2} r_v \right) = \frac{u^2 + 3v^2}{2}. [/math]

Paso 3: Derivada respecto a \( z \)

La derivada de \( r_z = z \) respecto a \( z \) es:

[math] \frac{\partial r_z}{\partial z} = 1. [/math]

Paso 4: Sustitución en la fórmula de la divergencia

Sustituyendo todos los términos en la fórmula de la divergencia:

[math] \nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \left[ \frac{3u^2 + v^2}{2} + \frac{u^2 + 3v^2}{2} \right] + 1. [/math]

Simplificando:

[math] \nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{1}{u^2 + v^2} \cdot 2(u^2 + v^2) + 1 = 2 + 1 = 3. [/math]

Resultado Final

La divergencia del campo posición \( \mathbf{r} \) es:

[math] \nabla \cdot \mathbf{r} = 3. [/math]

7 Rotacional

Cálculo del Rotacional en Coordenadas Cilíndricas Parabólicas

En coordenadas cilíndricas parabólicas, los factores de escala son:

[math] h_u = h_v = \sqrt{u^2 + v^2}, \quad h_z = 1 [/math]

Por lo tanto:

[math] h_u h_v h_z = (\sqrt{u^2 + v^2})^2 \cdot 1 = u^2 + v^2 [/math]

La fórmula para el rotacional en coordenadas ortogonales es:

[math] \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{h_u h_v h_z} \begin{vmatrix} h_u e_u & h_v e_v & h_z e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_u F_u & h_v F_v & h_z F_z \end{vmatrix} [/math]

Sustituyendo los factores de escala:

[math] \nabla \times \mathbf{F} = \frac{1}{u^2 + v^2} \begin{vmatrix} \sqrt{u^2 + v^2} e_u & \sqrt{u^2 + v^2} e_v & e_z \\ \frac{\partial}{\partial u} & \frac{\partial}{\partial v} & \frac{\partial}{\partial z} \\ \sqrt{u^2 + v^2} F_u & \sqrt{u^2 + v^2} F_v & F_z \end{vmatrix} [/math]

Con las componentes del campo:

[math] F_u = \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_v = \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}}, \quad F_z = z [/math]

Cálculo por Componentes

Componente [math]e_u[/math]

[math] e_u = \frac{\partial}{\partial v}(h_z F_z) - \frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v) [/math]

[math]\frac{\partial}{\partial v}(h_z F_z) = \frac{\partial}{\partial v}(z) = 0[/math] [math]\frac{\partial}{\partial z}(h_v F_v) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2} F_v) = 0[/math], porque [math]F_v[/math] no depende de [math]z[/math].

Por lo tanto:

[math] e_u = 0 [/math]

Componente [math]e_v[/math]

[math] e_v = \frac{\partial}{\partial z}(h_u F_u) - \frac{\partial}{\partial u}(h_z F_z) [/math]

[math]\frac{\partial}{\partial z}(h_u F_u) = \frac{\partial}{\partial z}(\sqrt{u^2 + v^2} F_u) = 0[/math], porque [math]F_u[/math] no depende de [math]z[/math].

[math]\frac{\partial}{\partial u}(h_z F_z) = \frac{\partial}{\partial u}(z) = 0[/math].

Por lo tanto:

[math] e_v = 0 [/math]

Componente [math]e_z[/math]

[math] e_z = \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v) - \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u) [/math]

Derivada de [math]h_v F_v[/math] con respecto a [math]u[/math]:

[math] h_v F_v = \sqrt{u^2 + v^2} \cdot \frac{v u^2 + v^3}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{v u^2 + v^3}{2} [/math]

Entonces:

[math] \frac{\partial}{\partial u}(h_v F_v) = \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{v u^2 + v^3}{2} \right) = \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{v u^2}{2} \right) + \frac{\partial}{\partial u} \left( \frac{v^3}{2} \right) = v \cdot u [/math]

Derivada de [math]h_u F_u[/math] con respecto a [math]v[/math]:

[math] h_u F_u = \sqrt{u^2 + v^2} \cdot \frac{u^3 + uv^2}{2 \sqrt{u^2 + v^2}} = \frac{u^3 + uv^2}{2} [/math]

Entonces:

[math] \frac{\partial}{\partial v}(h_u F_u) = \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{u^3 + uv^2}{2} \right) = \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{uv^2}{2} \right) + \frac{\partial}{\partial v} \left( \frac{u^3}{2} \right) = u \cdot v [/math]

Por lo tanto:

[math] e_z = v u - u v = 0 [/math]

Resultado Final

El rotacional es:

[math] \nabla \times \mathbf{F} = 0 \cdot e_u + 0 \cdot e_v + 0 \cdot e_z = \mathbf{0} [/math]

Esto significa que el campo [math]\mathbf{F}[/math] es irrotacional en coordenadas cilíndricas parabólicas.

8 Superficies de nivel

Las superficies de nivel para los campos escalares son:

[math] f_1(u, v, z) = u : \text{ Superficie parabólica.} [/math]

[math] f_2(u, v, z) = v : \text{ Superficie parabólica.} [/math]

[math] f_3(u, v, z) = z : \text{ Plano horizontal.} [/math]

Superficies de nivel de campos escalares

Superficies de nivel en cartesianas:

- Para el campo escalar \( f_1(u, v, z) = u \): [math] (x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{c_1^2 - v^2}{2}, \, c_1 v, \, z \right), \quad \text{con } v, z \text{ variables y } u = c_1 \text{ constante.} [/math]

- Para el campo escalar \( f_2(u, v, z) = v \): [math] (x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - c_2^2}{2}, \, u c_2, \, z \right), \quad \text{con } u, z \text{ variables y } v = c_2 \text{ constante.} [/math]

- Para el campo escalar \( f_3(u, v, z) = z \): [math] (x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, \, u v, \, c_3 \right), \quad \text{con } u, v \text{ variables y } z = c_3 \text{ constante.} [/math]

Código de MATLAB y representación: Coordenadas cilíndricas parabólicas

Superficie de nivel f₁

Superficie de nivel f₂

Superficie de nivel f₃

clc; clear;

% Rango de variables
v = linspace(0, 2, 50); % v es libre
z = linspace(-1, 1, 50); % z es libre
[V, Z] = meshgrid(v, z); % Creación de mallas para v y z

% --- 1. Superficie de nivel f1(u, v, z) = u ---
figure;
u1 = 1; % Fijar u como constante
x1 = (u1.^2 - V.^2) / 2; % Calcular x1 con u constante
x2 = u1 .* V; % Calcular x2 con u constante
x3 = Z; % z es la tercera dimensión
surf(x1, x2, x3, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfica de la superficie

% Etiquetas y formato
title('Superficie de nivel: f_1(u, v, z) = u');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
colormap turbo;
axis equal;
grid on;

% Rango de variables
u = linspace(0, 2, 50); % u es libre
z = linspace(-1, 1, 50); % z es libre
[U, Z] = meshgrid(v, z); % Creación de mallas para u y z

% --- 2. Superficie de nivel f1(u, v, z) = v ---
figure;
v1 = 1; % Fijar v como constante
x1 = (U.^2 - v1.^2) / 2; % Calcular x1 con v constante
x2 = U .*v1; % Calcular x2 con v constante
x3 = Z; % z es la tercera dimensión
surf(x1, x2, x3, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfica de la superficie

% Etiquetas y formato
title('Superficie de nivel: f_2(u, v, z) = v');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
colormap turbo;
axis equal;
grid on;


% Rango de variables 
u = linspace(0, 2, 50); % u es libre
v = linspace(-1, 1, 50); % v es libre
[U, V] = meshgrid(u, v); % Creación de mallas para u y v

% --- 3. Superficie de nivel f3(u, v, z) = z ---
figure;
z1 = 1; % Fijar z como constante
x1 = (U.^2 - V.^2) / 2; % Calcular x1
x2 = U .* V; % Calcular x2
x3 = z1 * ones(size(U)); % Crear una matriz constante para z1

surf(x1, x2, x3, 'EdgeColor', 'none'); % Gráfica de la superficie

% Etiquetas y formato
title('Superficie de nivel: f_3(u, v, z) = z');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('z');
colormap turbo;
axis equal;
grid on;

¿Qué es una superficie reglada?

Figura X: Superficie Reglada

Una superficie reglada es una superficie que se puede formar moviendo una recta (conocida como "generatriz") a lo largo de una curva directriz. Este movimiento puede incluir cambios en la orientación o la posición de la generatriz.

Parametrización matemática

[math] \Phi(u, v) = \gamma(v) + u \cdot \mathbf{w}(v), [/math] donde:

• [math]\gamma(v)[/math]: describe la curva directriz en [math]\mathbb{R}^3[/math].
• [math]\mathbf{w}(v)[/math]: es un vector (generatriz) que cambia a lo largo de [math]\gamma(v)[/math].
• [math]u[/math]: controla el desplazamiento a lo largo de [math]\mathbf{w}(v)[/math].

• Ejemplos:

1. Si [math]\gamma(v)[/math] es una línea recta y [math]\mathbf{w}(v)[/math] es constante, la superficie generada es un plano.
2. Si [math]\gamma(v)[/math] es una parábola y [math]\mathbf{w}(v)[/math] varía, se pueden generar superficies como hiperboloides o paraboloides.

Aplicación a las funciones dadas

Estas funciones representan superficies de nivel en coordenadas cilíndricas parabólicas. Vamos a analizar cada una para comprobar si son superficies regladas.

Superficie de nivel de [math]f_1(u, v, z) = u[/math]

La ecuación [math]f_1(u, v, z) = u[/math] se puede escribir como: [math] u = c \quad (\text{donde } c \text{ es constante}). [/math]

Sustituyendo [math]u = c[/math] en las coordenadas cilíndricas parabólicas: [math] (x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{c^2 - v^2}{2}, \, c v, \, z \right), \quad \text{con } v, z \text{ variables y } u = c \text{ constante.} [/math]

• Esta ecuación describe una superficie en [math]\mathbb{R}^3[/math], donde: c es constante y v y z son variables.

• Si fijamos [math]v = v_0[/math] (un valor constante), la ecuación genera una recta en el plano [math]xz[/math] para distintos valores de [math]z[/math]. Estas rectas son las generatrices.

Por lo tanto, la superficie es reglada porque se puede formar moviendo una recta (generatriz) a lo largo de una curva directriz en el plano [math]x_1x_3[/math].

Superficie de nivel de [math]f_2(u, v, z) = v[/math]

La ecuación [math]f_2(u, v, z) = v[/math] se escribe como: [math] v = c \quad (\text{donde } c \text{ es constante}). [/math]

Sustituyendo [math]v = c[/math] en las coordenadas: [math] (x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - c^2}{2}, \, c u, \, z \right), \quad \text{con } u, z \text{ variables y } v = c \text{ constante.} [/math]

• Aquí, [math]u[/math] y [math]z[/math] son variables, mientras que [math]c[/math] es constante.

• Si fijamos [math]u = u_0[/math], se genera una recta en el plano [math]xz[/math] para distintos valores de [math]z[/math]. Estas rectas son las generatrices.

Por lo tanto, **esta superficie también es reglada** porque se puede generar moviendo rectas a lo largo de una curva directriz en [math]x_1x_3[/math].

Superficie de nivel de [math]f_3(u, v, z) = z[/math]

La ecuación [math]f_3(u, v, z) = z[/math] se puede escribir como: [math] z = c \quad (\text{donde } c \text{ es constante}). [/math]

Sustituyendo [math]z = c[/math] en las coordenadas: [math] (x_1, x_2, x_3) = \left( \frac{u^2 - v^2}{2}, \, u v, \, c \right), \quad \text{con } u, v \text{ variables y } z = c \text{ constante.} [/math]

• En este caso, [math]u[/math] y [math]v[/math] son variables.

• La ecuación describe un plano horizontal (donde [math]z[/math] es constante). Un plano es un caso trivial de superficie reglada, ya que puede generarse moviendo una recta paralela en el espacio.

Por lo tanto, esta superficie es reglada.

Uso de las superficies regladas en la ingeniería

La iglesia de la Virgen Milagrosa en Monterrey

Las superficies regladas han sido fundamentales en ingeniería gracias a su facilidad de construcción, resistencia estructural y versatilidad estética. Desde estructuras emblemáticas hasta aplicaciones prácticas, estas geometrías han transformado múltiples áreas de la ingeniería.

Ingeniería Civil y Arquitectura En arquitectura e ingeniería civil, las superficies regladas permiten crear diseños estéticos y funcionales. Ejemplos destacados incluyen:

• Cúpulas y techos: Las cubiertas de paraboloides hiperbólicos se usan en estadios y auditorios debido a su capacidad para cubrir grandes áreas sin necesidad de soportes intermedios.

• Puentes: Las torres y cables de suspensión a menudo utilizan superficies regladas para combinar resistencia y ligereza.

• Edificios icónicos: Obras como las estructuras de Félix Candela en México emplearon paraboloides hiperbólicos, combinando funcionalidad y belleza.

Ingeniería Estructural

En ingeniería estructural, las superficies regladas son ideales para estructuras que deben soportar cargas significativas con eficiencia:

• Chimeneas de refrigeración: Las torres hiperboloides de centrales nucleares distribuyen cargas de viento de manera uniforme y son estables frente a movimientos laterales.

• Sistemas de soporte: Se utilizan en puentes colgantes y techos tensados, donde las generatrices rectilíneas permiten una distribución eficiente de fuerzas.

Ventajas clave de las superficies regladas en ingeniería

• Fácil construcción: Su geometría permite fabricarlas usando métodos tradicionales como moldeo en hormigón o doblado de acero.

• Estabilidad estructural: Distribuyen las cargas uniformemente, ofreciendo alta resistencia con menos material.

• Versatilidad estética: Facilitan diseños innovadores que combinan funcionalidad y atractivo visual.

9 Calculo de la curvatura

Determinar la curvatura \( h(t) \).

Figura X: Parabola.

Ecuación de la parábola

[math] y = -Ax^2 + B [/math] Donde:

• [math]A = 2[/math]
• [math]B = 2[/math]
• [math]x \in [-1, 1][/math]

Ecuación particular

[math] y = -2x^2 + 2 [/math]

Parametrización

[math] \gamma(t) = (t, -2t^2 + 2, 0) [/math] Con: [math]t \in [-1, 1][/math]

Fórmula de la curvatura

[math] k(t) = \frac{\| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \|}{\| \gamma'(t) \|^3} [/math]

Cálculos de las derivadas

1. Primera derivada: [math] \gamma'(t) = (1, -4t, 0) [/math]

2. Segunda derivada: [math] \gamma''(t) = (0, -4, 0) [/math]

Producto cruz entre \( \gamma'(t) \) y [math] \gamma''(t) [/math]

[math] \gamma'(t) \times \gamma''(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\ 1 & -4t & 0 \\ 0 & -4 & 0 \end{vmatrix} = (0)\mathbf{\vec{i}} + (0)\mathbf{\vec{j}} + (-4)\mathbf{\vec{k}} [/math]

[math] \gamma'(t) \times \gamma''(t) = (0, 0, -4) [/math]

Magnitud del producto cruz

[math] \| \gamma'(t) \times \gamma''(t) \| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4 [/math]

Magnitud de \( \gamma'(t) \)

[math] \| \gamma'(t) \| = \sqrt{1^2 + (-4t)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 16t^2} [/math]

Curvatura

[math] k(t) = \frac{4}{(1 + 16t^2)^{3/2}} [/math]

Evaluación en puntos específicos

1. Para [math]t = -1[/math]: [math] k(-1) = \frac{4}{(1 + 16)^{3/2}} = \frac{4}{17^{3/2}} [/math]

2. Para [math]t = 1[/math]: [math] k(1) = \frac{4}{(1 + 16)^{3/2}} = \frac{4}{17^{3/2}} [/math]

3. Para [math]t = 0[/math]: [math] k(0) = \frac{4}{(1)^{3/2}} = 4 [/math]

Conclusión

La mayor curvatura se encuentra en el vértice de la parábola, y tiene un valor de 4 .

La menor curvatura se encuentra cuando [math]t = -1[/math] & [math]t = 1[/math], en estos puntos, la curvatura tiene un valor de [math]\frac{4}{17^{3/2}}[/math]

Figura X: Curvatura.

clear,clc
% Parámetros de la parábola
A = 2;
B = 2;

% Intervalo de t (x)
t = linspace(-1, 1, 100);

% Curvatura teórica
kappa = (2 * A) ./ ((1 + 4 * A^2 * t.^2).^(3/2));

% Gráfica de la curvatura
figure;
plot(t, kappa, 'LineWidth', 2);
title('Curvatura de la parábola y = -Ax^2 + B');
xlabel('t (x)');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;

% Mostrar los puntos de mayor y menor curvatura
hold on;
plot(0, 2*A, 'ro', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Mayor curvatura');
plot([-1, 1], kappa([1, end]), 'go', 'MarkerSize', 8, 'DisplayName', 'Menor curvatura');
legend;

10 Uso de la parábola en ingeniería

La parábola es una figura geométrica que desempeña un papel crucial en el diseño y construcción de diversas estructuras de ingeniería civil. Su capacidad para distribuir fuerzas de manera eficiente y proporcionar estabilidad estructural ha llevado a su adopción en puentes, carreteras, edificios y presas. A continuación, se detalla cómo se aplica y cuáles son sus beneficios en cada ámbito.

Puentes La parábola es particularmente relevante en los puentes colgantes y de arco, dos de las tipologías más icónicas en la ingeniería civil:

Figura X: Puente colgante.

• Puentes colgantes:

  - Los cables principales de un puente colgante adoptan una curva parabólica, lo que permite una distribución uniforme de las fuerzas de compresión y tensión.  
  - Esta configuración transfiere las fuerzas de compresión hacia las torres de soporte de manera eficiente, optimizando la estabilidad de la estructura.  

Figura X: Puente de arco.

• Puentes de arco:

  - Los arcos parabólicos destacan por su capacidad para repartir las cargas de manera equitativa.  
  - Su diseño permite abarcar espacios más amplios en comparación con otros tipos de arcos, lo que resulta ideal para proyectos de gran envergadura. 
  - La parábola contribuye a un mayor empuje en la base del arco, incrementando la estabilidad general del puente.

Elementos arquitectónicos

En el ámbito arquitectónico, la parábola es un elemento recurrente en la creación de estructuras innovadoras y funcionales:

Figura X: Cubierta estructural.

• Cubiertas estructurales:

  - Arquitectos como Félix Candela y Oscar Niemeyer emplearon paraboloides hiperbólicos para diseñar cubiertas ligeras pero resistentes.  
  - Estas formas permiten un aprovechamiento eficiente de los materiales, combinando ligereza y durabilidad.  

Figura X: Arco parabolico estadio.

• Arcos parabólicos:

  - Usados en grandes espacios como estadios y centros comerciales, ofrecen una distribución eficiente de las cargas estructurales.  
  - Permiten diseños arquitectónicos más audaces, combinando funcionalidad y estética.

Presas

Las presas también se benefician del uso de la parábola, especialmente en términos de resistencia y funcionalidad:

Figura X: Presa.

• Perfil estructural:

  - La forma parabólica distribuye la presión del agua de manera uniforme, lo que contribuye a la estabilidad de la presa.  

• Vertederos:

  - Los diseños parabólicos optimizan el flujo del agua, minimizando la erosión y reduciendo el impacto sobre el medio ambiente.  

• Estabilidad estructural:

  - Las curvas parabólicas mejoran la capacidad de la presa para resistir fuerzas horizontales, como las producidas por el empuje del agua.

Carreteras En el diseño de carreteras, la parábola se utiliza para crear trayectorias suaves y transiciones graduales que mejoran la seguridad y comodidad del usuario:

Figura X: Carretera en forma de parabola

• Perfiles verticales:

  - Especialmente en terrenos montañosos, las parábolas facilitan la adaptación del trazado a la topografía, reduciendo el desgaste del vehículo y el consumo de combustible.  

• Curvas de transición:

  - Estas aseguran un cambio progresivo entre pendientes, minimizando los riesgos asociados con cambios bruscos de inclinación.  

• Diseño de rampas:

  - Las parábolas optimizan la inclinación y aprovechan eficientemente el espacio disponible.  

Ventajas generales de la parábola

1) Eficiencia estructural: Permite una distribución óptima de las fuerzas, lo que reduce la necesidad de material sin comprometer la resistencia.

2) Versatilidad: Su adaptabilidad la hace adecuada para diversas escalas y tipos de construcciones.

3) Estética: Aporta un atractivo visual que se combina con diseños innovadores y funcionales.

4) Economía: Al requerir menos material, reduce costos de construcción y mantenimiento.

5) Resistencia: Su capacidad para distribuir fuerzas de forma uniforme incrementa la durabilidad de las estructuras.