Diferencia entre revisiones de «Coordenadas cilindricas parabolicas (Grupo 36)»
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<math>p_1=x_1+\sqrt{x_1^2+x_2^2} | <math>p_1=x_1+\sqrt{x_1^2+x_2^2} | ||
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Revisión del 14:45 7 dic 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 36) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Miguel Fernández de soto García Rodrigo Moral Garía Jaime Gonzalez Perez Carlos Montero Quesada |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Coordenadas Cilíndricas Parabólicas
Gradiente del campo escalar en el sistema cilindrico parabólico
Los datos del enunciado son el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,0)\).
Al inicio se debe cambiar de coordenadas el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,0)\) de coordenadas cartesianas al sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas:
El campo es simplemente sustituir \(x_2=uv\) :
\(f(u, v, z)=uv\)
El punto se adjunta la siguiente demostracion: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} x_1 = \left( \frac{w^2 - v^2}{2}\right) \\ x_2 = uv \\ x_3 = z \end{cases} [/math]
nombramos \(p\) y \(q\) a \(u^2 \)y a \(v^2\) respectivamente
sustituimos \(p\) y \(q\) en el sistema de ecuaciones: [math] (x_1, x_2,x_3): \begin{cases} 2x_1 =p-q (1)\\ x_2^2 = pq (2) \end{cases} [/math]
dejamos en función de \(q\) a la ecuación (1) \(q\)=\(p\)-\(2x_1\) posteriormente sustituimos esta nueva ecuacion en la ecuacion (2)
\(p^2\)-\(2x_1p\)=\(x_2^2\)
sacamos las raices de \(p\):
[math]p_1=x_1+\sqrt{x_1^2+x_2^2} \ltmath\; \(p_2\)=No valida por ser negativa \((u, v, z) = (1 ,1 ,1)\). \( \textbf{Calculamos el gradiente del campo escalar:}\) \ltmath\gt\nabla f= \frac{1}{h_u}\frac{\partial f}{\partial u}\vec{e_u}+ \frac{1}{h_v}\frac{\partial f}{\partial v}\vec{e_v} + \frac{1}{h_z}\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e_z} \lt\math\gt donde: \ltmath\gt h_u=h_v=\sqrt{x_1^2+x_2^2} ; h_z=1 [/math]
expresandolos en coordenadas clilindricas parabolicas serían:
[math] h_u=h_v= \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} ; h_z=1
[/math]
Las derivadas parciales correspondientes serian:
\(\Large \frac{\partial f}{\partial u} \)=\(u\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial v} \)=\(v\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial z} \)=0
Finalmente si sustitumos el punto en el gradiente se nos quedaria la siguiente expresion:
[math]\nabla f= \frac{1}{\sqrt{2}}(\vec{e_u}+\vec{e_v}) [/math]
