Diferencia entre revisiones de «Coordenadas cilindricas parabolicas (Grupo 36)»
| Línea 12: | Línea 12: | ||
\( \textbf{Calculamos el gradiente del campo escalar:}\) | \( \textbf{Calculamos el gradiente del campo escalar:}\) | ||
| − | \nabla\Phi = | + | {{Ecuación| |
| + | <math>\mathrm{grad}\ \Phi = \nabla\Phi = | ||
\frac{1}{h_1}\frac{\partial \Phi}{\partial x^1}\,\hat{\mathbf{e}}_1+ | \frac{1}{h_1}\frac{\partial \Phi}{\partial x^1}\,\hat{\mathbf{e}}_1+ | ||
\frac{1}{h_2}\frac{\partial \Phi}{\partial x^2}\, \hat{\mathbf{e}}_2+ | \frac{1}{h_2}\frac{\partial \Phi}{\partial x^2}\, \hat{\mathbf{e}}_2+ | ||
| − | \frac{1}{h_3}\frac{\partial \Phi}{\partial x^3}\, \hat{\mathbf{e}}_3 | + | \frac{1}{h_3}\frac{\partial \Phi}{\partial x^3}\, \hat{\mathbf{e}}_3</math> |
| + | ||left}} | ||
Revisión del 23:29 6 dic 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Coordenadas Cilíndricas Parabólicas (grupo 36) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Miguel Fernández de soto García Rodrigo Moral Garía Jaime Gonzalez Perez Carlos Montero Quesada |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Coordenadas Cilíndricas Parabólicas
Gradiente del campo escalar en el sistema cilindrico parabólico
Los datos del enunciado son el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) y el punto \((x_1, x_2, x_3) = (0 ,1 ,0)\).
Al inicio se debe cambiar de coordenadas el campo escalar \(f(x_1, x_2, x_3) = x_2\) de coordenadas cartesianas al sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas:
\(f(u, v, z)=uv\)
\( \textbf{Calculamos el gradiente del campo escalar:}\)
La ecuación del calor fue propuesta por Fourier en 1807, pero no sería hasta 1822 cuando la academia decidió publicarla. Esta ecuación es un modelo matemático que describe la evolución de la temperatura en un cuerpo sólido en función del tiempo y del espacio. En matemáticas representa una ecuación parabólica, dada por una ecuación en derivadas parciales lineales de segundo orden y de coeficientes constantes:
donde a=-1; e=1; b=c=d=f=0. Consideramos una varilla de longitud L de un cierto material, de grosor constante. Está orientada en la dirección del eje x, desde x=0 a x=L. La varilla es conductora de calor,por lo que entre dos zonas de ella a diferente temperatura hay un intercambio de energía térmica en forma de calor. En nuestro caso, consideramos una varilla delgada de longitud L=3, y cuyos extremos est�an colocados sobre objetos que mantienen una temperatura constante de 0 y 10 grados respectivamente. Inicialmente la temperatura de la varilla viene dada por u 0 ( x ) = 10 x= 3 salvo en su tercio central donde la temperatura ha subido hasta los 100 grados. Se Suponemos que la varilla es delgada y tiene su superficie lateral aislada t ́ermicamente. Podemos entonces pensar que todas las cantidades t ́ermicas son constantes a los largo de cada secci ́on transversal, y ver la varilla como un objeto unidimensional. La energ ́ıa t ́ermica de la varilla va a depender entonces de x ∈ [0 , L ] y t . Designamos por u ( x, t ) la temperatura de la secci ́on de la varilla que dista x ≥ 0 del extremos x = 0 cuando ha pasado un tiempo t ≥ 0. Tomemos un trozo de varilla entre las secciones x y x + ∆ x , que des- ignaremos por [ x, x + ∆ x ]. Pensamos en ∆ x , que mide la anchura del trozo de varilla, como una cantidad muy peque ̃na. Vamos a ver la cantidad de energ ́ıa t ́ermica que hay en el trozo de la varilla [ x, x + ∆ x ]
\( \textbf{Derivadas Parciales:}\)
\(\Large \frac{\partial f}{\partial u} \)=\(u\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial v} \)=\(v\ ; \Large \frac{\partial f}{\partial z} \)=0
