Revisión del 17:57 2 dic 2024

Coordenadas Cilíndricas Elipticas

Introducción

En este trabajo estudiaremos las coordenadas cilíndricas elipticas un sistema que relaciona las coordenadas cilindricas y elipticas, es útil en problemas que involucran geometrías elípticas, como el estudio de campos de fuerza o potencial en elipses como tambien en la resolución de ecuaciones en espacios donde hay una simetría elíptica.

Estas se denotan por (q, ψ, z). Surelacion con las coordenadas cartesianas (x1, x2, x3) es:

1 Parametrización de las líneas coordenadas

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas cilíndricas elípticas (u,v,z) y las coordenadas cartesianas (x1,x2,x3), podemos encontrar las siguientes parametrizaciones:

• Línea coordenada \(\gamma_u\): Manteniendo \(ψ\) y \(z\) constantes, y variando \(q\):

[math] \gamma_u(w): \begin{cases} x_1 = 2qcos(ψ) \\ x_2 = 3qsen(ψ) \\ x_3 = z \end{cases} [/math] \\ Esta línea describe una recta radial en el plano z=z0 que atraviesa el origen, con un ángulo fijo ψ ​

• Línea coordenada \(\gamma_v\): Manteniendo \(q\) y \(z\) constantes, y variando \(ψ\):

[math] \gamma_v(w): \begin{cases} x_1 = 2qcos(ψ) \\ x_2 = 3qsen(ψ) \\ x_3 = z \end{cases} [/math] \\ Esta línea describe una elipse en el plano z=z0 con semiejes 2q y 3q

• Línea coordenada \(\gamma_z\): Manteniendo \(q\) y \(ψ\) constantes, y variando \(z\):

[math] \gamma_z(w): \begin{cases} x_1 = 2qcos(ψ) \\ x_2 = 3qsen(ψ) \\ x_3 = z \end{cases} [/math]
Esta línea describe una línea recta paralela al eje 𝑧 en una posición fija en el plano x1x2

1.1 Gráfica y Código MATLAB

Líneas coordenadas asociadas

% Parámetros
a = 2; % Semieje mayor de la elipse
b = 3; % Semieje menor de la elipse
qv = [0.5, 1, 1.5, 2]; % Valores de q para las elipses
gamma = linspace(0, 2*pi, 100); % Ángulos para parametrización de elipses
gammaradial = [0, pi/6, pi/3, pi/2, pi]; % Ángulos para las rectas radiales
q_max = max(gamma); % Máximo valor de q para las líneas rectas

% Configuración de la figura
figure;
hold on;
grid on;
axis equal;
title('Líneas coordenadas en coordenadas cilíndricas elípticas');
xlabel('x_1');
ylabel('x_2');

% Dibujar las elipses (líneas con q constante)
for q = qv
    x1 = a * q * cos(gamma);
    x2 = b * q * sin(gamma);
    plot(x1, x2, 'b', 'LineWidth', 1.5);
end

% Dibujar las rectas radiales (líneas con phi constante)
for i = gammaradial
    x1 = linspace(0, a * q_max * cos(i), 100);
    x2 = linspace(0, b * q_max * sin(i), 100);
    plot(x1, x2, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
end

% Leyenda
legend('Líneas con q constante (elipses)', 'Líneas con gamma constante (rectas)', 'Location', 'best');
hold off;

2 Expresión de la velocidad

2.1 Módulo

2.2 Vector tangente

2.3 Comprobación

2.4 Gráfica

3 Expresión en coordenadas elípticas en un punto

Consideramos el punto P=(x1, x2, x3) = (2, 0, 0) y lo pasamos a cordenadas elipticas mediante el siguiente proceso:

[math] q= \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{x_2^2}{b^2}} = \sqrt{\frac{2^2}{2^2} + \frac{0^2}{3^2}} = 1 [/math]

[math] ψ= arctan(\frac{bx_2}{ax_1}) = arctan(\frac{0}{4}) = 0 [/math]

[math] z = x_3 = 0 [/math]

P = (q,ψ,z) = (1,0,0)

4 Parametrización de la curva

Dadas las relaciones entre las coordenadas cilíndricas elípticas y las coordenadas cartesianas (x1,x2,x3) podemos parametrizar la a curva γ:

La curva γ está parametrizada por ψ lo cual significa que necesitamos expresar las coordenadas x,y de cartesianas en función de ψ, teniendo en cuenta que el valor de la componente z=0, tendríamos la siguiente parametrización:

[math] x_ψ(t)=2qcost\\ y_ψ(t)=3qsint z_ψ(t)=0 [/math]

Teniendo en cuenta que q = 1 y que definimos que ψ varia en el intervalo [0,2π] para cubrir toda la elipse.

4.1 Grafico y codigo Matlab

Líneas coordenadas asociadas

% Definir el rango del ángulo psi
psi = linspace(0, 2*pi, 100);  % 100 puntos entre 0 y 2pi

% Parametrizar las coordenadas cartesianas
q = 1;  % Suposición de que q es constante y igual a 1
x1 = 2 * q * cos(psi);  % Coordenada x1
x2 = 3 * q * sin(psi);  % Coordenada x2

% Graficar la curva
figure;
plot(x1, x2, 'LineWidth', 2);
xlabel('x1');
ylabel('x2');
axis equal;  % Para asegurar que la escala de ambos ejes es igual
title('Curva en coordenadas cartesianas');
grid on;

5 Curvatura

Tenemos la sigueinte funcion k(t)

[math] k(t) = \frac{||\vec{r(t)}'× \vec{r(t)}''||}{||\vec{r(t)'||}^3} [/math]

siendo \( \vec{r(t)} \) la posición de un punto sobre la curva en función de t, \( \vec{r(t)}' \)el vector tangente que punta en la dirección de cambio de la curva y \( \vec{r(t)} \) el vector aceleración.

[math] \vec{r(t)} = \begin{bmatrix} x_ψ \\ y_ψ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2qcost \\ 3qsent \end{bmatrix}, [/math]

Entonces, la curvatura 𝜅(𝑡) se calcula como: [math] κ(t) = \frac{|x_ψ'(t)y_ψ''(t)-y_ψ'(t)x_ψ''(t)|}{(x_ψ'(t)^2+y_ψ'(t)^2)^3/2} [/math]

Con esto vemos como quedaria la funcion k(t) dibujada en Matlab.

5.1 Gráfica y codigo Matlab

right

% Parámetros
a = 2; b = 3; % Constantes elípticas
q_fixed = 1; % Valor fijo de q
t_vals = linspace(0, 2pi, 100); % Valores de t

% Parametrización de la curva
x1_gamma = a q_fixed * cos(t_vals);
x2_gamma = b * q_fixed * sin(t_vals);

% Derivadas numéricas
dx1_dt = gradient(x1_gamma, t_vals); % Derivada de x1 respecto a t
dx2_dt = gradient(x2_gamma, t_vals); % Derivada de x2 respecto a t
d2x1_dt2 = gradient(dx1_dt, t_vals); % Segunda derivada de x1 respecto a t
d2x2_dt2 = gradient(dx2_dt, t_vals); % Segunda derivada de x2 respecto a t

% Cálculo de la curvatura
kappa_vals = abs(dx1_dt .* d2x2_dt2 - dx2_dt .* d2x1_dt2) ./ ...
             ((dx1_dt.^2 + dx2_dt.^2).^(3/2));

% Graficar la curvatura
figure;
plot(t_vals, kappa_vals, 'k', 'LineWidth', 1.5);
xlabel('t'); ylabel('\kappa(t)');
title('Curvatura \kappa(t)');
grid on;

5.2 Máximos y mínimos

Añadiendo el siguiente comando conseguimos los maximos y minimos de la funcion dibujada:

[max_kappa, idx_max] = max(kappa_vals);
[min_kappa, idx_min] = min(kappa_vals);
disp(['Máx: ', num2str(max_kappa), ' en t = ', num2str(t_vals(idx_max))]);
disp(['Mín: ', num2str(min_kappa), ' en t = ', num2str(t_vals(idx_min))]);

obteniendo como resultado:

Max = 0.74965

Min = 0.11115

6 Vector tangente y normal

Mediante el siguiente codigo obtenemos el vector normal y tangente respecto a la curva dada:

right

% Parámetros
a = 2; b = 3; % Constantes elípticas
q_fixed = 1; % Valor fijo de q
t_vals = linspace(0, 2pi, 100); % Valores de t

% Parametrización de la curva
x1_gamma = a q_fixed * cos(t_vals);
x2_gamma = b * q_fixed * sin(t_vals);

% Derivadas numéricas
dx1_dt = gradient(x1_gamma, t_vals); % Derivada de x1 respecto a t
dx2_dt = gradient(x2_gamma, t_vals); % Derivada de x2 respecto a t

% Vectores tangente y normal en un punto específico
t_point = pi/4; % Punto elegido para t
idx = find(abs(t_vals - t_point) == min(abs(t_vals - t_point))); % Índice más cercano

% Tangente en el punto
tangent = [dx1_dt(idx); dx2_dt(idx)];
tangent = tangent / norm(tangent); % Normalizamos

% Normal en el punto (perpendicular al tangente)
normal = [-tangent(2); tangent(1)];

% Coordenadas del punto en la curva
point = [x1_gamma(idx); x2_gamma(idx)];

% Graficar
figure;
plot(x1_gamma, x2_gamma, 'm', 'LineWidth', 1.5); hold on;
quiver(point(1), point(2), tangent(1), tangent(2), 0.3, 'r', 'LineWidth', 1.5); % Tangente
quiver(point(1), point(2), normal(1), normal(2), 0.3, 'b', 'LineWidth', 1.5); % Normal
scatter(point(1), point(2), 50, 'k', 'filled'); % Punto específico

% Etiquetas y configuraciones
xlabel('x_1'); ylabel('x_2');
title('Vectores Tangente y Normal en la curva \gamma');
legend('Curva \gamma', 'Tangente \vec{t}', 'Normal \vec{n}', 'Punto de interés');
grid on;
axis equal;

7 Circunferencia osculatriz

Supongamos una curva con [math] q [/math] constante, por ejemplo, [math] q [/math]=1. Entonces la curva parametrizada será:

[math]x_1(ψ)=2qcos(ψ)[/math]

[math]x_2(ψ)=3sen(ψ)[/math]

Esta describe una elipse en el plano [math] x_3=0 [/math].

La máxima curvatura es [math]kmáx=\frac{2}{9}[/math], donde el punto correspondientes en la elipse es [math] (x_1,x_2)=(2,0) [/math].

La circunferencia osculatriz tiene el radio inversamente proporcional a la curvatura:

El centro de la circunferencia osculatriz se encuentra en la dirección normal a la curva en el punto, que para [math](2,0)[/math] es [math](2,R)[/math].

7.1 Código

Circunferencia osculatriz

% Parámetros de la elipse
a = 2; % Semieje mayor
b = 3; % Semieje menor

% Parámetros de la circunferencia osculatriz
R = 9 / 2; % Radio de la circunferencia osculatriz
x = 2; % Coordenada x del centro
y = R; % Coordenada y del centro

% Puntos para la elipse
theta = linspace(0, 2*pi, 500);
elipse_x = a * cos(theta);
elipse_y = b * sin(theta);

% Puntos para la circunferencia osculatriz
circulo_theta = linspace(0, 2*pi, 500);
circulo_x = x + R * cos(circulo_theta);
circulo_y = y + R * sin(circulo_theta);

% Graficar la elipse
figure;
plot(elipse_x, elipse_y, 'b-', 'LineWidth', 1.5); hold on;

% Graficar la circunferencia osculatriz
plot(circulo_x, circulo_y, 'r--', 'LineWidth', 1.5);

% Marcar el punto de máxima curvatura
plot(2, 0, 'go', 'MarkerSize', 8, 'MarkerFaceColor', 'g');
text(2.1, 0.2, 'Punto de máxima curvatura (2, 0)', 'Color', 'green', 'FontSize', 10);

% Configuración del gráfico
axis equal;
grid on;
xlabel('x');
ylabel('y');
title('Elipse y Circunferencia Osculatriz');
legend('Elipse (q=1)', 'Circunferencia osculatriz', 'Punto de máxima curvatura');
hold off;

8 Superficies de nivel

8.1 Superficie 1

La superficie 1 viene dada como \(f_1(q,ψ,z)=q\) teniendo la [math]q=constante[/math], en coordenadas cilíndricas elípticas:

Esto representa un cilindro elíptico paralelo al eje z.

right

% Parámetros
a = 2; b = 3;
q = 1; % Valor constante de la superficie

% Malla de puntos
phi = linspace(0, 2*pi, 100);
z = linspace(-5, 5, 100);
[Phi, Z] = meshgrid(phi, z);

% Coordenadas cilíndricas elípticas
X = a * q * cos(Phi);
Y = b * q * sin(Phi);

% Gráfica
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel: f_1(q, \phi, z) = q');
axis equal;
grid on;

8.2 Superficie 2

La superficie 2 viene dada como \(f_2(q,ψ,z)=ψ\) teniendo la [math]ψ=constante[/math].

Esto describe un semiplano que pasa por el eje [math]z[/math] y está inclinado a un ángulo ψ respecto al eje [math]x_1[/math].

right

% Parámetros
a = 2; b = 3;
phi_const = pi/4; % Valor constante de la superficie

% Malla de puntos
q = linspace(0, 2, 100);
z = linspace(-5, 5, 100);
[Q, Z] = meshgrid(q, z);

% Coordenadas cilíndricas elípticas
X = a * Q * cos(phi_const);
Y = b * Q * sin(phi_const);

% Gráfica
figure;
surf(X, Y, Z, 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel: f_2(q, \phi, z) = \phi');
axis equal;
grid on;

8.3 Superficie 3

La superficie 3 viene dada como \(f_3(q,ψ,z)=z\) teniendo la [math]z=constante[/math].

Esto describe un plano horizontal paralelo al plano [math]x_1x_2[/math].

right

% Parámetros
a = 2; b = 3;
z_const = 2; % Valor constante de la superficie

% Malla de puntos
phi = linspace(0, 2*pi, 100);
q = linspace(0, 2, 100);
[Phi, Q] = meshgrid(phi, q);

% Coordenadas cilíndricas elípticas
X = a * Q .* cos(Phi);
Y = b * Q .* sin(Phi);

% Gráfica
figure;
surf(X, Y, z_const * ones(size(X)), 'EdgeColor', 'none');
xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3');
title('Superficie de nivel: f_3(q, \phi, z) = z');
axis equal;
grid on;

8.4 Superficies regladas

8.4.1 Uso de superficies regladas en la ingeniería

Una superficie reglada es una superficie en el espacio tridimensional que puede generarse mediante el movimiento de una recta a lo largo de una trayectoria en el espacio. Dichas superficies se caracterizan porque por cada punto de la superficie pasa al menos una línea recta que se encuentra completamente contenida en ella.

Con respecto a la ingeniería podemos observar el uso de superficies regladas en diferentes casos como:

• En puentes y cubiertas: Puente Helicoidal de Hong Kong, para garantizar estabilidad y estética.

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• En cúpulas y techos: L'Oceanogràfic, porque es posible crear superficies con curvaturas y formas distintas.

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• En la arquitectura contemporánea: Museo Guggenheim de Bilbao, para diseños innovadores y funcionales.

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8.4.2 ¿Son superficies regladas las superficies anteriores?

• La superficie 1 al ser un cilindro elíptico, es una superficie reglada porque puede generarse desplazando una recta a lo largo de una curva elíptica en el plano z=0.

• La superficie 2 al ser un semiplano, también es reglada porque cualquier plano es una superficie generada por líneas rectas.

• La superficie 3 al ser un plano horizontal, también es reglada por la misma razón.

9 Información sobre la elipse

El uso de la elipse en la ingeniería es ampliamente utilizado gracias a sus propiedades matemáticas y funcionales y se caracteriza por algunas funciones como:

• La focalización: Las propiedades geométricas de la elipse permiten que cualquier rayo que pase por un foco se refleje hacia el otro. Esto es útil en acústica y óptica.

• La estabilidad estructural: Las formas elípticas distribuyen cargas de manera eficiente, haciéndolas ideales para techos, cúpulas, y puentes.

• La estética y simetría: Su geometría crea diseños elegantes y armónicos, comunes en construcciones arquitectónicas modernas y clásicas.

Construcciones con elipses