Revisión del 14:08 29 nov 2024

La catenaria es una curva fundamental en ingeniería civil, ya que describe la forma que adoptan los cables o cadenas flexibles suspendidos bajo su propio peso, sin otras fuerzas externas. Su aplicación es clave en el diseño de estructuras como puentes colgantes, líneas de transmisión eléctrica y cubiertas tensadas, donde la eficiencia estructural y la distribución uniforme de tensiones son esenciales. Este trabajo explora las propiedades matemáticas de la catenaria, su relación con otras curvas como la parábola y sus principales aplicaciones prácticas, destacando su importancia en la optimización y seguridad de proyectos ingenieriles.

FORMA DE LA CATENARIA

Siendo la curva representada por:
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,Acosh(t/A)), t∈(-1,1)[/math]

Para la representación y cálculos de a continuación usaremos el programa Matlab

1 Dibujar la curva

REPRESENTACIÓN CATENARIA

1.1 Código

% Definir la parametrización
a=2;
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = a*cosh(t/a);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, a*cosh(t/a))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;

2 Calcular los vectores velocidad γ'(t) y aceleración γ"(t), y dibujarlos junto a la curva

2.1 Definición vector posición, velocidad y aceleración

2.2 Representación de los vectores

GRÁFICA DE LA CURVATURA

% Definir la parametrización
a=2;
t = linspace(-1, 1, 20);
x = t;
y = a*cosh(t/a);
% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, a*cosh(t/a))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;

% Velocidad y aceleración 
V1 = ones(size(t));  
V2 = (a/a)*sinh(t/a);
A1 = zeros(size(t));  
A2 = (a/a^2)*cosh(t/a);

% Gráfica 
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Etiquetas
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

3 Longitud de curva

4 Vectores tangente t(t) y normal n(t)

5 Cálculo de curvatura k(t)

En este análisis de la curva parametrizada γ(t)=(t,2cosh(t/2)), nos enfocamos en estudiar su curvatura κ, un parámetro que indica cuán alejada está la curva de ser una línea recta en cada punto. Graficando κ(t) , podemos observar cómo varía la "tensión" o el "giro" de la curva a lo largo de su recorrido, lo que nos da una comprensión más profunda de su comportamiento geométrico local.
Para calcularla se usará la siguiente expresión:

5.1 Código MATLAB de la curvatura

GRÁFICA DE LA CURVATURA

% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = 2*cosh(t/2);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t/2);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t/2)/2;
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - V2 .* A1;
denominador = (V1.^2 + A1.^2).^(3/2);
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;