Diferencia entre revisiones de «La cicloide (grupo 8)»
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| + | <math> \vec t=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}</math> | ||
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| + | El vector normal, también unitario, se describe como un vector perpendicular a la superficie en un punto específico, siendo así perpendicular también al vector tangente. Esto se representa como que el producto escalar de ambos vectores da 0 como resultado. En superficies cerradas existe la opción de elegir la orientación de esta eligiendo entre la normal hacia adentro o hacia afuera de la propia superficie. | ||
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% Parámetros | % Parámetros | ||
t = linspace(0, 2*pi, 100); % Rango de t (100 puntos para suavidad) | t = linspace(0, 2*pi, 100); % Rango de t (100 puntos para suavidad) | ||
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== Curvatura de la curva == | == Curvatura de la curva == | ||
Revisión del 11:25 29 nov 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La cicloide. Grupo 8 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2024-25 |
| Autores | Marta Reiter Hernández Paula Repáraz Cabezudo Alonso García Viñas Rodrigo Nuñez de Santos Alberto Zapatero Alujas |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Se considera una curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (R(t-sint),R(1-cost)), t∈(0,2π)[/math]
En la cual se considera R=2 como dato fijo
Contenido
1 Representación de la curva
A partir de su parametrización y con matlab obtenemos la imagen de la curva, la cual corresponde al siguiente código.
% Parámetros
R = 2; % Radio del círculo generador
t = linspace(0, 2*pi, 1000); % Rango de t, con 2 ciclos completos
% Ecuaciones paramétricas del cicloide
x = R * (t - sin(t));
y = R * (1 - cos(t));
% Dibujo del cicloide
figure;
plot(x, y, 'green', 'LineWidth', 1);
axis equal;
grid on;
title('Cicloide generado por un círculo rodante');
xlabel('x(t)');
ylabel('y(t)');2 Vector velocidad y aceleración
2.1 Definición vector posición, velocidad y aceleración
El vector posición es el que une el origen con la posición particular de la curva, describiendo así su localización en el espacio.
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (2(t-sint),2(1-cost))[/math]
El vector velocidad se define como la derivada del vector posición con respecto al tiempo, el cual es siempre tangente a la trayectoria de la partícula en cada punto.
[math] γ'(t) = (x'(t)\vec i + y'(t)\vec j) = (2 (1-cost)\vec i + 2 (sint)\vec j)[/math]
El vector aceleración se define como la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo, el cual puede medir cambios de rapidez o cambios de dirección.
[math] γ''(t) = (x''(t)\vec i + y''(t)\vec j) = (2 (sint)\vec i + 2 (cost)\vec j)[/math]
2.2 Representación de los vectores
% Parámetros t = linspace(0, 2*pi, 100); % Rango de t x = 2 * (t - sin(t)); % Ecuación del cicloide (x) y = 2 * (1 - cos(t)); % Ecuación del cicloide (y)
% Vectores velocidad (derivada de la posición) Vx = 2 * (1 - cos(t)); % Componente x del vector velocidad Vy = 2 * sin(t); % Componente y del vector velocidad
% Vectores aceleración (derivada de la velocidad) Ax = 2 * sin(t); % Componente x del vector aceleración Ay = 2 * cos(t); % Componente y del vector aceleración
% Dibujo del cicloide figure; plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); % Curva cicloide en azul hold on; axis equal; grid on; title('Cicloide con Vectores de Velocidad y Aceleración'); xlabel('x(t)'); ylabel('y(t)');
% Configuraciones para los vectores step = 3; % Intervalo para dibujar vectores escala = 1; % Escala de los vectores
% Dibujar vectores de velocidad en naranja for i = 1:step:length(t)
quiver(x(i), y(i), Vx(i), Vy(i), escala, 'color', 'green', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.3); % verde
end
% Dibujar vectores de aceleración en verde for i = 1:step:length(t)
quiver(x(i), y(i), Ax(i), Ay(i), escala, 'color', 'yellow', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.5); % amarillo
end
% Agregar leyenda legend('Cicloide', 'Vectores de Velocidad', 'Vectores de Aceleración', 'Location', 'best');
hold off;
3 Longitud de la curva
%Definición parámetros
t=linspace(0,2*pi,n);
a = 0;
b = 2 * pi;
n = 10000;
f = @(t) sqrt((2 - 2 * cos(t))^2 + (2 * sin(t))^2);
% Llamada a la función integral
resultado = integral(a, b, f, n);
disp(['Resultado de la integral: ', num2str(resultado)])
function S = integral(a, b, f, n)
% Método del rectángulo usando el punto medio
h = (b - a) / n; % Ancho de cada subintervalo
S = 0; % Inicialización de la suma
for i = 1:n
xmed = a + (i - 0.5) * h; % Punto medio del subintervalo
S = S + f(xmed) * h; % Suma de áreas de cada rectángulo
end
end
4 Vectores tangente y normal
4.1 Definición vector tangente y normal
El vector tangente, vector unitario, es el cual indica la dirección de curva o superficie en un punto específico. Este se puede definir como el gradiente de una curva vectorial.
[math] \vec t=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}[/math]
El vector normal, también unitario, se describe como un vector perpendicular a la superficie en un punto específico, siendo así perpendicular también al vector tangente. Esto se representa como que el producto escalar de ambos vectores da 0 como resultado. En superficies cerradas existe la opción de elegir la orientación de esta eligiendo entre la normal hacia adentro o hacia afuera de la propia superficie.
4.2 Representación de los vectores
% Parámetros t = linspace(0, 2*pi, 100); % Rango de t (100 puntos para suavidad) x = 2 * (t - sin(t)); % Ecuación del cicloide (x) y = 2 * (1 - cos(t)); % Ecuación del cicloide (y)
% Ecuaciones para el vector tangente Tx = (1 - cos(t)) ./ sqrt(2 - 2*cos(t)); Ty = sin(t) ./ sqrt(2 - 2*cos(t));
% Ecuaciones para el vector tangente Nx = (-sin(t)) ./ sqrt(2 - 2*cos(t)); Ny = (1 - cos(t)) ./ sqrt(2 - 2*cos(t));
%Invertir la dirección de los vectores normales Nx=-Nx; Ny=-Ny;
% Dibujo de la curva figure; plot(x, y, 'b', 'LineWidth', 2); %curva cicliode en azul hold on; axis equal; grid on; title('Cicloide con Vectores Tangentes y Normales'); xlabel('x(t)'); ylabel('y(t)');
%ajustar el número de vectores tangentes step=5 %dibuja un vector tangente cada 10 puntos
% Dibujar los vectores tangentes for i = 1:step:length(t)
quiver(x(i), y(i), Tx(i), Ty(i), 3, 'color', [1, 0.5, 0], 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.3);
end
% Dibujar los vectores normales for i = 1:step:length(t)
quiver(x(i), y(i), Nx(i), Ny(i), 3, 'color', 'green', 'LineWidth', 1.5, 'MaxHeadSize', 0.3);
end
%agregar leyenda legend('cicloide','Vectores Tangentes','Vectores Normales','Location','best') hold off;
5 Curvatura de la curva
5.1 Definición de la curvatura
5.2 Representación de la curvatura
% Parámetros t = linspace(0, 2*pi, 100); % Rango de t x = 2 * (t - sin(t)); % Ecuación del cicloide (x) y = 2 * (1 - cos(t)); % Ecuación del cicloide (y)
% Curvatura de la cicloide k = (cos(t) - 1) ./ ( (2 - 2*cos(t)).^(3/2) );
% Dibujo de la curvatura subplot(2, 1, 2); % Segundo gráfico: curvatura plot(t, k, 'r', 'LineWidth', 2); grid on; title('Curvatura de la Cicloide'); xlabel('t'); ylabel('k(t)'); hold off;
