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Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.  
 
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{{matlab|codigo=
 
{{matlab|codigo=
  

Revisión del 20:28 28 nov 2024

Trabajo realizado por estudiantes
Título Deformaciones de una columna . Grupo 28
Asignatura Teoría de Campos
Curso 2024-25
Autores
  • Mateo Navarro Díaz
  • María Victoria González Junco
  • Fernando Benítez Pérez
  • Rodrigo Prado Fornos
  • Claudia Elimar Manrique
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

intro





Mallado de la placa



1 Representación del mallado del sólido

Definimos la placa mediante dos vectores x e y que representan el intervalo en el cual está definida nuestra placa, tomando un muestreo h=1/10. Al crear la malla donde la placa está definida, al representarla con el comando surf, tenemos que tener en cuenta que es plana dando valor 0 a la altura de los puntos de la misma. 

h=0.1;                       %muestreo
x=-1:h:1;                    %eje x de la placa
y=0:h:10;                     %eje y de la placa
[xx,yy]=meshgrid(x,y);       %mallado de la placa
figure(1)
surf(xx,yy,0*xx);            %representación de la placa
axis([-2,2,0,10])             %ejes del rectángulo
view(2)


2 Gradiente de la temperatura

El cálculo del gradiente de un campo escalar se expresa como la derivada parcial respecto de cada coordenada de dicho campo en función de la base ortonormal orientada positiva [math]\vec{i},\vec{j},\vec{k}[/math] (COORDENADAS CARTESIANAS). Es decir:

[math] \nabla T=\frac{\partial{T}}{\partial{x}}\vec{i}+\frac{\partial{T}}{\partial{y}}\vec{j}[/math]


[math] \nabla T=\frac{2πx cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{i}+\frac{2πy cos(2π\sqrt{x^2 + y^2})}{\sqrt{x^2 + y^2}}\vec{j}[/math]

A continuación se muestra el código completo de matlab, del cual resultan las siguientes imágenes en las que podemos ver las curvas de nivel y donde se encuentra su máximo y mínimo, a partir de los colores de las gráficas y a partir de el propio matlab. Este nos índica al ejecutar el programa que el máximo es: 0.8

C.Temperatura C.Nivel
clc
clear
h = 0.2; %MUESTREO
x =-1.0:h:1.0; %DOMINIO DE X
y =0.0:h:10.0; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); % CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
mesh(X,Y,0*X) %CREACIÓN DE LA MALLA
subplot(1,3,1) %GRÁFICO SUPERIOR
surf(X,Y,T); %DEGRADACIÓN DE COLORES
axis ([-1,1,-0.5,10.5]) 
view(2)
colorbar %BARRA DE COLORES
%TÍTULO PRIMERA GRÁFICA Y EJES
title('CAMPO DE TEMPERATURAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
subplot(1,3,2) %GRÁFICO INFERIOR
contour(X,Y,T,11);
axis ([-1.0,1.0,-0.5,10.5]);
%TÍTULO SEGUNDA GRÁFICA Y EJES 
title('CURVAS DE NIVEL')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES
Tmax=max(max(T)) %PUNTO MÁXIMO
subplot(1,3,3)
axis ([-1.25,1.25,-0.5,10.5]) 
view(2)
%CURVAS DE NIVEL ENUMERADAS
[M,c]=contour(X,Y,T,[0:0.75:10],'ShowText','on') 
%TÍTULO TERCERA GRÁFICA Y EJES
title('CURVAS DE NIVEL NUMERADAS')
xlabel('eje X')
ylabel('eje Y')
colorbar %BARRA DE COLORES


A continuación, se va a demostrar como el gradiente, previamente calculado, es perpendicular a las líneas de nivel anteriores. Al no verse claro en la imagen original, con la cantidad de líneas de flujo, se opta por aplicar un zoom para una correcta visualización.


1114 × 1244px|miniaturadeimagen|Gradiente de Temperatura
clear;clc;
h = 2/10; %MUESTREO
x = [-1:h:1]; %DOMINIO DE X
y = [0:h:12]; %DOMINIO DE Y
[X,Y]= meshgrid(x,y); %CREACIÓN DEL MALLADO
T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2))); %TEMPERATURA EN CADA PUNTO DEL MALLADO
contour(X,Y,T,11); %CURVAS DE NIVEL
dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE X
dy=2*pi*Y.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2); %PARCIAL DE Y
%TÍTULO Y EJES
title('Gradiente de temperatura');
xlabel('Eje X');
ylabel('Eje Y');
% Representación de la temperatura y las curvas de nivel
hold on
quiver(x,y,dx,dy);
axis equal
colorbar


3 Ley de Fourier

Gracias al segundo principio de la termodinámica conocemos el calor emitido por dos focos, uno cálido y otro frío, solo puede ir en un sentido, de mayor a menor calor. Y la ley expresada por el matemático y físico Jean-Baptiste Joseph Fourier trata de establecer una relación entre la distancia, tiempo y el flujo de calor entre focos. Dicha ley viene expresada [math]\vec{Q}=−K∇T[/math], donde K es la constante de conductividad térmica que dependerá del material a estudio. En nuestro caso, la sección del solido tiene por K el valor asociado 1.

Se observa que las flechas van en sentido contrario al gradiente.

Figura 3


clear;clc;
%Definimos las variables x e y usando como paso de muestreo h
 h=2/10;
 x=[-1:h:1];
 y=[0:h:10];
%Creación del mallado
 [X,Y]=meshgrid(x,y);
 mesh(X,Y,0.*X);
%Definimos la función T
 T=sin(2.*pi.*(sqrt(X.^2+Y.^2)));
%Curvas de nivel
 contour(X,Y,T,11);
hold on
%Calculo del gradiente de T
 dx=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
 dy=2*pi*X.*cos(2.*pi.*sqrt(X.^2+Y.*2))./sqrt(X.^2+Y.*2);
%Constante de conductividad térmica y ley de Fourier 
 k=1;
  Q1=-k.*(dx);
  Q2=-k.*(dy);
%Representación del campo vectorial
 quiver(x,y,Q1,Q2,'r');
 axis equal;
hold off
%Título y nombre de los ejes
 title('Energía calorífica');
  xlabel('Eje X');
  ylabel('Eje Y');
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