Diferencia entre revisiones de «Borrador1»
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En esta parte del documento se va a proceder a resolver la ecuación de Poisson mediante un nuevo método. En primer lugar, esta ecuación viene dada por <math> \Delta u = f </math> siendo <math>u:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math>y <math> f \in C^2(\mathbb{R})</math>. Para este estudio se particularizará para n=2 y n=3. | En esta parte del documento se va a proceder a resolver la ecuación de Poisson mediante un nuevo método. En primer lugar, esta ecuación viene dada por <math> \Delta u = f </math> siendo <math>u:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math>y <math> f \in C^2(\mathbb{R})</math>. Para este estudio se particularizará para n=2 y n=3. | ||
| − | En primer lugar es necesario definir la solución fundamental de esta ecuación, pues se utilizará posteriormente para calcular el potencial newtoniano o logarítimico. Esta viene dada por <math> \phi(x) = | + | En primer lugar es necesario definir la solución fundamental de esta ecuación, pues se utilizará posteriormente para calcular el potencial newtoniano o logarítimico. Esta viene dada por <math> \phi(x) = -\frac{1}{2\pi} log(|x|) </math> si n=2 y <math> \phi(x) = \frac{1}{4\pi |x| } </math> si n=3. |
| − | + | === Potencial newtoniano === | |
| + | Supongamos que <math> f(x) </math> | ||
| + | representa la densidad de una carga contenida en un conjunto compacto dentro del espacio tridimensional <math> \mathbb{R}^n</math>. | ||
| + | Entonces, la expresión <math> \phi(x-y)f(y)dy</math> denota el potencial en el punto x. De esta manera el potencial total viene dado por la siguiente expresión: | ||
| + | <center><math> u(\mathbf{x}) = \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{y}) \phi(\mathbf{x} - \mathbf{y}) d\mathbf{y} </math></center>= \frac{1}{4\pi} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{f(y)}{|x - y|} dy. | ||
| − | + | Esta fórmula se conoce como potencial Newtoniano de f. | |
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Revisión del 10:55 18 abr 2024
1 Ecuación de Poisson
En esta parte del documento se va a proceder a resolver la ecuación de Poisson mediante un nuevo método. En primer lugar, esta ecuación viene dada por [math] \Delta u = f [/math] siendo [math]u:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/math]y [math] f \in C^2(\mathbb{R})[/math]. Para este estudio se particularizará para n=2 y n=3.
En primer lugar es necesario definir la solución fundamental de esta ecuación, pues se utilizará posteriormente para calcular el potencial newtoniano o logarítimico. Esta viene dada por [math] \phi(x) = -\frac{1}{2\pi} log(|x|) [/math] si n=2 y [math] \phi(x) = \frac{1}{4\pi |x| } [/math] si n=3.
1.1 Potencial newtoniano
Supongamos que [math] f(x) [/math] representa la densidad de una carga contenida en un conjunto compacto dentro del espacio tridimensional [math] \mathbb{R}^n[/math].
Entonces, la expresión [math] \phi(x-y)f(y)dy[/math] denota el potencial en el punto x. De esta manera el potencial total viene dado por la siguiente expresión:
Esta fórmula se conoce como potencial Newtoniano de f.
