Diferencia entre revisiones de «Ecuaciones de Laplace y de Poisson»
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Construyamos un problema de derivadas parciales a partir de la ecuación de Laplace. La ecuación es, | Construyamos un problema de derivadas parciales a partir de la ecuación de Laplace. La ecuación es, | ||
<center><math> \Delta u = 0 </math></center> | <center><math> \Delta u = 0 </math></center> | ||
Revisión del 12:06 18 abr 2024
Contenido
1 Introducción
En este documento, nos centraremos en dos ecuaciones que tienen un amplio uso en diversos ámbitos como electrostática, mecánica de fluidos, física teórica y magnetostática: la ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson. Ambas ecuaciones las estudiaremos en el plano y las veremos aplicadas en problemas concretos. Veremos las limitaciones que presenta la fórumla de Poisson así como diferentes métodos analíticos para aproximar soluciones, y raíz de esto, analizaremos errores de aproximación. Por último, estudiaremos el comportamiento de soluciones tanto en un dominio dado, utilizando la desigualdad de Harnack, como asintóticamente en infinito.
CREO QUE AQUÍ ME FALTAN PUNTOS Y COMAS
2 Ecuación de Laplace
La ecuación de Laplace, cuyo nombre nombre honra al distinguido físico-matemático Pierre-Simon Laplace, es una ecuación en derivadas parciales de tipo elíptico. REFERENCIA? Construyamos un problema de derivadas parciales a partir de la ecuación de Laplace. La ecuación es,
con [math]u:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[/math] como incógnita. Esta ecuación se define en un dominio [math] \Omega [/math], y en su frontera [math] \partial \Omega [/math] se pueden añadir condiciones de contorno Dirichlet, Neuman o mixtas. En este trabajo nos centraremos en las condiciones de contorno de tipo Dirichlet, las cuales igualan [math] u [/math] a una función específica [math] g [/math]. Con todo esto, llegamos al siguiente problema de derivadas parciales.
A fin de comprender mejor este problema, podemos examinar el siguiente ejemplo en concreto.
2.1 Ejemplo Laplace
Sea [math] B_1 ⊂ R^2 [/math] la bola unidad centrada en [math](0, 0)[/math]. Planteamos el problema,
donde [math] g(\theta)=max\{0, 1-\frac{2}{\pi} |\theta - \pi|\} [/math]. A lo largo de este documento, en lo que tiene que ver con la ecuación de Laplace, visitaremos este ejemplo varias veces.
3 Calcular la solución de la ecuación de Laplace
Dentro de la resolución del problema planteado existen varios métodos por los que proceder. En este trabajo estudiaremos dos: la fórmula de Poisson y la serie de Fourier.
