Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor(Grupo Eau De Parfum(EDP)))»
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| + | La solución estacionaria de nuestro problema es aquella que no varía con el tiempo <math> \overline{u}=\lim_{t \to \infty} u(x,t)</math>y por tanto, su derivada respecto al tiempo es nula. Nuestro sistema queda ahora: | ||
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| + | Resolviendo obtenemos que <math> \overline{u}(x)=x </math> es nuestra solución estacionaria,y gráficamente: | ||
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| + | import matplotlib.pyplot as plt | ||
| + | import numpy as np | ||
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| + | x = np.linspace(0, 1, 100) # 100 puntos entre 0 y 1 para una línea suave | ||
| + | # Define la función estacionaria ü(x) = x | ||
| + | ü_x = x | ||
| + | # Crea la gráfica | ||
| + | plt.plot(x, ü_x) | ||
| + | # Etiquetas de los ejes | ||
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| + | # Muestra la gráfica | ||
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Revisión del 22:15 4 mar 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del Calor. Grupo Eau De Parfum (EDP) |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores |
|
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
2 Conocimientos previos
Antes de comenzar será de gran ayuda introducir una serie de conceptos que utilizaremos a lo largo este trabajo:
-Ley del calor de Newton: describe la tasa de pérdida o ganancia de calor de un objeto en relación con el ambiente circundante.La ley se expresa comúnmente como:
- [math] \frac{d T(t)}{d t} = - k (T(t) - T_{\mathrm{a}}) [/math],
siendo [math]T(t) [/math]la temperatura del objeto en un tiempo dado, [math]T_{\mathrm{a}}[/math] la temperatura ambiente y [math]k[/math] la constante de proporcionalidad.
-Principio de conservación de la energía calorífica: establece que la variación de energía calorífica sobre un cuerpo V se debe al balance entre el calor que entra y sale del cuerpo más una producción externa.
-Ley de Fourier:intaura que el calor fluye desde regiones de alta temperatura a regiones de baja temperatura, y la cantidad de flujo de calor depende de la diferencia de temperatura y las propiedades del material.La expresión matemática de la Ley de Fourier es:
- [math] \mathbf{q} = - k {\nabla} T [/math],
donde [math] \mathbf{q}[/math] es el vector de flujo de calor por unidad de superficie y [math] {\nabla} T [/math] es el gradiente del campo de temperatura en el interior del material.
-Principio del máximo: Sea [math]u \in C^{2,1}(Q_T)\cap (\overline{Q_T})[/math] tal que [math]u_t - \Delta u \leq 0[/math] en [math]Q_T[/math]. Entonces u alcanza su máximo en la frontera parabólica [math]\partial _p Q_T[/math]:
- [math]\max_{\overline{Q_T}} u = \max_{\partial _p Q_T} u[/math]
3 PRIMER PROBLEMA
Consideramos una varilla metálica de longitud 1 m , que se encuentra aislada por su superficie lateral, de manera que la conducción de calor únicamente se produce en la dirección longitudinal. La temperatura inicial de la varilla es 0ºC. En el extremo izquierdo se consigue mantener la temperatura a 0 ºC mientras que en el derecho la temperatura es siempre de 1 ºC. Además tanto la conductividad térmica como el calor específico toman un valor constante de 1.Por lo que nuestro problema a resolver queda:
[math] \left\{ \begin{aligned} &u_t - u_{xx} = 0, & 0 \lt x \lt 1, t \gt 0, \\ &u(0, t) = 0, & t \gt 0, \\ &u(1, t) = 1, & t \gt 0, \\ &u(x, 0) = 0, & 0 \lt x \lt 1, \end{aligned} \right. [/math]
Este problema se resuelve mediante el método de variación de las constantes, pero un factor clave para su implementación es que las condiciones de contorno estén homogeneizadas, es decir, que sean la función nula. Esto se conseguirá mediante un cambio de variable, en el que es imprescindible la llamada solución estacionaria. La solución estacionaria de nuestro problema es aquella que no varía con el tiempo [math] \overline{u}=\lim_{t \to \infty} u(x,t)[/math]y por tanto, su derivada respecto al tiempo es nula. Nuestro sistema queda ahora:
[math] \left\{ \begin{aligned} &-\overline{u}_{xx} = 0, & 0 \lt x \lt 1, \\ &\overline{u}(0)= 0 \\ &\overline{u}(1) = 1, \end{aligned} \right. [/math]
Resolviendo obtenemos que [math] \overline{u}(x)=x [/math] es nuestra solución estacionaria,y gráficamente:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Define el rango de x entre 0 y 1
x = np.linspace(0, 1, 100) # 100 puntos entre 0 y 1 para una línea suave
# Define la función estacionaria ü(x) = x
ü_x = x
# Crea la gráfica
plt.plot(x, ü_x)
# Etiquetas de los ejes
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('ü(x)')
# Título de la gráfica
plt.title('Gráfica de la solución estacionaria ü(x)=x')
# Muestra la gráfica
plt.show()
