Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor ( ALA )»

Revisión del 19:51 4 mar 2024

Solución fundamental de la ecuación del calor

Anteriormente se han representado diferentes soluciones de la ecuación del calor en una dimensión. En este apartado, se profundizará en la existencia de una función matemática que describe como se propaga y disipa el calor en un medio a lo largo del tiempo, denominada solución fundamental de la ecuación del calor. En este primer caso, se realizará para dimensión 1, la cual toma la forma de una función Gaussiana. Sin embargo, posteriormente se ampliará esta a una segunda dimensión.

La expresión de esta es la siguiente: [math]\u(x,t)={ \frac{1}{\sqrt(4t\pi}[/math]

Para su correcta comprensión, se va a realizar a continuación una representación de la solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 1, particularizando el dominio espacial en el intervalo [-1,1] y el dominio temporal en el intervalo [0.01,1]. Para ello, se ha creado el siguiente código, explicado en las anotaciones de él.

clear
close all
format long
% Se define un vector de 100 puntos equidistantes en el dominio propuesto.

x=linspace(-1,1,100); % Vector de la variable espacial.
t=logspace(-2,0,100); % Vector de la variable temporal. En este caso se utiliza la función logspace pues se pretende obtener el vector de puntos en escala logarítmica.

% A continuación se calcula la solución de la ecuación del calor en dimensión 1 en los diferentes puntos obtenidos anteriormente.


u =zeros(length(x),length(t)); % Se crea la siguiente matriz de ceros para ir introduciendo los valores que se obtengan de la solución en cada uno de los puntos.


for i=1:length(t)
    u(:,i)=1./sqrt(4*pi*t(i))*exp(-x.^2./(4*t(i))); % Mediante este bucle se va intriduciendo en cada elemento de la matriz el valor dado al evaluarla en la solución fundamental.
end

%Se grafica la solución obtenida.

[X,T]=meshgrid(x,t);
surf(X,T,u);
xlabel('x');
ylabel('t');
zlabel('u(x,t)');
title('Solución fundamental de la ecuación del calor en dimensión 1');

La representación obtenida tras ejecutar el código anterior es la siguiente:

derecha

La solución fundamental es fundamental en la teoría del calor y se utiliza en una amplia gama de aplicaciones, desde la modelización del clima hasta el diseño de sistemas de calefacción y refrigeración, entre otros. La comprensión de la solución fundamental permite predecir y comprender cómo se comporta el calor en diversos contextos físicos y de ingeniería.