Revisión del 13:33 2 mar 2024

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación del calor. Grupo GRwM
Asignatura	EDP
Curso	2023-24
Autores	Guillermo Gómez Tejedor, Marina Jiménez Barrantes y Rocío Tajuelo Díaz
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Contenido

1 Introducción
2 Conceptos previos
3 Planteamiento del problema
4 Resolución del sistema EDP
5 Interpretación del flujo en los extremos
6 Solución al considerar otro coeficiente de conductividad
7 Solución al considerar otra condición inicial
8 Referencias

1 Introducción

En el trabajo que se presenta a continuación, vamos a estudiar la ecuación del calor en una dimensión. Para ello, vamos a considerar una varilla metálica que se encuentra aislada por su superficie lateral, de modo que la conducción de calor se produzca en la dirección longitudinal. Partiendo de esto y añadiendo ciertas condiciones de frontera, que iremos modificando a lo largo del trabajo, vamos a calcular la solución de la ecuación del calor y la vamos a representar.

2 Conceptos previos

En esta sección, vamos a presentar algunos conceptos esenciales para comprender la obtención del sistema EDP que permite modelizar el problema.

Flujo de calor: Se define flujo de transferencia de calor, o simplemente flujo de calor, a la cantidad de calor PONER BIE

Ley de Fourier: Establece que el flujo de transferencia de calor por conducción es proporcional y de sentido contrario al gradiente de temperatura ([math] T [/math]) en esa dirección. En nuestro caso, al trabajar en una dimensión, [math] \nabla T(\textbf{x},t)= T_{x} [/math] y la ley de Fourier es

[math] q=-k\cdot T_{x} [/math]

siendo [math] q [/math] el flujo de transferencia de calor y [math] k [/math] el coeficiente de conductividad térmica, que es un valor que indica la capacidad de un material para transferir calor a través de él cuando existe una diferencia de temperatura.

Energía calorífica: La energía calorífica [math] e [/math] es una forma de energía que se produce como resultado del movimiento de átomos en un objeto y es una medida de la cantidad total de energía cinética de estos. La expresión que relaciona la temperatura del objeto con la energía calorífica es:

[math] e= c \cdot T [/math]

siendo [math] c [/math] el calor específico, que se define como la cantidad de calor que hay que suministrar a la unidad de masa de una sustancia para elevar su temperatura en una unidad.

Principio de conservación de la energía:Establece que la cantidad total de energía térmica para cierto volumen de control permanece constante cuando se tiene en cuenta el flujo de calor entrante y saliente con respecto al tiempo.

Por otro lado, vamos a comprobar que el principio del máximo se verifica en este problema:

Principio del máximo: sea [math] u \in C^{2,1} (Q_T) \cap C(\overline{Q_T})[/math] tal que [math]u_t - \Delta u \leq 0 [/math] en [math] Q_T = \Omega \times (0,T)[/math]. Entonces [math]u[/math] alcanza un máximo en la frontera parabólica, es decir, [math] \max \limits_{(x,t) \in Q_T} u = \max \limits_{(x,t) \in \partial _PQ_T} u [/math].

REVISAAAR

3 Planteamiento del problema

Para comenzar con el estudio de la ecuación del calor, primero debemos plantear el problema a resolver, que involucra esta ecuación junto a ciertas condiciones de frontera y condición inicial. Como ya se ha mencionado, en nuestro estudio vamos a considerar una varilla metálica que se encuentra aislada por su superficie lateral. De esta manera, la conducción de calor se produce únicamente en la dirección longitudinal.

Además, vamos a considerar que la temperatura inicial de la varilla es 0 ºC. También vamos a fijar la temperatura en el extremo izquierdo en 0ºC y en el derecho a 1ºC.

Teniendo en cuenta el principio de conservación la energía y la definición de la energía en función de la temperatura, así como las condición inicial y de frontera, se obtiene el siguiente sistema de EDP:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} \frac{\partial T}{\partial t}-\frac{k}{c} \frac{\partial ^2 T}{\partial x^2}=0 & \quad 0 \lt x \lt 1, 0 \lt t \lt T, \\ T(x,0)=0, & \quad 0 \lt x \lt 1, \\ T(0,t)=0, & \quad 0 \lt t \lt T, \\ T(1,t)=1 & \quad 0 \lt t \lt T. \end{array} \right. [/math]

Suponemos que tanto la conductividad térmica [math]k[/math] como el calor específico [math]c[/math] toman el valor constante [math]1[/math]. Entonces, el sistema de EDP final queda de la siguiente forma:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} \frac{\partial T}{\partial t}-\frac{\partial ^2 T}{\partial x^2}=0 & \quad 0 \lt x \lt 1, 0 \lt t \lt T, \\ T(x,0)=0, & \quad 0 \lt x \lt 1, \\ T(0,t)=0, & \quad 0 \lt t \lt T, \\ T(1,t)=1 & \quad 0 \lt t \lt T. \end{array} \right. [/math]

4 Resolución del sistema EDP

Una vez planteado el sistema, procedemos a resolverlo. Para ello, con el objetivo de homogeneizar las condiciones de frontera, vamos a comenzar obteniendo la solución estacionaria.

Para calcular la ecuación del estado estacionario, vamos a tomar el tiempo [math] t [/math] infinito. Esto implica que la variación de la temperatura con respecto al tiempo desaparezca, de modo que la ecuación del sistema HACER REFERENCIA es ahora [math] T_{xx}=0[/math].

Considerando además las condiciones [math] T(0)=0[/math] y [math] T(1)=0[/math], provenientes de las condiciones frontera del problema original, se tiene que la solución de la ecuación del estado estacionario es:

[math] \begin{array}{ll} T_{est}(x)=x, & \quad 0 \lt x \lt 1 \end{array}. [/math]

En la siguiente gráfica, se representa esta solución:

Consideramos ahora el problema equivalente con condiciones de frontera homogéneas, donde se define [math] T_{hom}(x,t):= T(x,t)-T_{est}(x)[/math]:

[math]\left \{ \begin{array}{ll} \frac{\partial T_{hom}}{\partial t}-\frac{\partial ^2 T_{hom}}{\partial x^2}=0 & \quad 0 \lt x \lt 1, 0 \lt t \lt T, \\ T_{hom}(0,t)=0, & \quad 0 \lt t \lt T, \\ T_{hom}(1,t)=0 & \quad 0 \lt t \lt T, \\ T_{hom}(x,0)=x, & \quad 0 \lt x \lt 1. \end{array} \right. [/math]

Obtenemos la solución de este problema aplicando separación de variables

[math] T_{hom}(x,t)=u(x)v(t) [/math]

y llegamos a que dicha solución es

[math] T_{hom}(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k+1}}{k \pi}\sin{(k \pi x)} e^{-k^2\pi^2t} [/math].

A continuación se representa en el intervalo de tiempo [math] t \in [0,1] [/math], tomando los 10 primeros términos de la serie:

Finalmente, la solución del problema original es [math] T(x,t)=x-\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k+1}}{k \pi}\sin{(k \pi x)} e^{-k^2\pi^2t} [/math]

5 Interpretación del flujo en los extremos

Para finalizar el estudio de la solución del sistema de EDP PONER REFERECIA, vamos obtener e interpretar el flujo de calor saliente y entrante en ambos extremos a lo largo del tiempo.

Debemos tener en cuenta, que el flujo es positivo cuando su sentido es el del eje longitudinal, es decir, de izquierda a derecha. Teniendo esto en cuenta así como la propia definición del flujo, para interpretar si este es entrante o saliente en los extremos, debemos obtener la derivada de la solución con respecto a la variable x. Esta es:

6 Solución al considerar otro coeficiente de conductividad

Si consideramos ahora el coeficiente de conductividad térmica igual a 1/2, se tiene el siguiente problema:

[math] \left \{ \begin{array}{ll} \frac{\partial T}{\partial t}-\frac{1}{2} \frac{\partial ^2 T}{\partial x^2}=0 & \quad 0 \lt x \lt 1, 0 \lt t \lt T, \\ T(x,0)=0, & \quad 0 \lt x \lt 1, \\ T(0,t)=0, & \quad 0 \lt t \lt T, \\ T(1,t)=1 & \quad 0 \lt t \lt T. \end{array} \right. [/math]

7 Solución al considerar otra condición inicial

7.1 Planteamiento del problema