Diferencia entre revisiones de «Ecuación del calor (GRwM)»
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En esta sección, vamos a presentar algunos conceptos esenciales para comprender la obtención del sistema EDP que permite modelizar el problema. | En esta sección, vamos a presentar algunos conceptos esenciales para comprender la obtención del sistema EDP que permite modelizar el problema. | ||
| − | '''Ley de Fourier''': Establece que el flujo de transferencia de calor por conducción es proporcional y de sentido contrario al gradiente de temperatura en esa dirección. En nuestro caso, al trabajar en una dimensión, <math> \nabla T(\textbf{x},t)= T_{x} </math> y la ley de Fourier es | + | '''Ley de Fourier''': Establece que el flujo de transferencia de calor por conducción es proporcional y de sentido contrario al gradiente de temperatura (<math> T </math>) en esa dirección. En nuestro caso, al trabajar en una dimensión, <math> \nabla T(\textbf{x},t)= T_{x} </math> y la ley de Fourier es |
<center><math> q=-k\cdot T_{x} | <center><math> q=-k\cdot T_{x} | ||
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| − | siendo <math> q </math> el flujo de | + | siendo <math> q </math> el flujo de transferencia de calor y <math> k </math> el coeficiente de conductividad térmica. |
| − | Energía calorífica | + | '''Energía calorífica''': La energía calorífica <math> e </math> es una forma de energía que se produce como resultado del movimiento de átomos en un objeto y es una medida de la cantidad total de energía cinética de estos. La expresión que relaciona la temperatura del objeto con la energía calorífica es: |
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| + | siendo <math> c </math> el calor específico, que se define como la cantidad de calor que hay que suministrar a la unidad de masa de una sustancia para elevar su temperatura en una unidad. | ||
Principio de conservación de la energía. | Principio de conservación de la energía. | ||
Revisión del 19:22 1 mar 2024
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación del calor. Grupo GRwM |
| Asignatura | EDP |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Guillermo Gómez Tejedor, Marina Jiménez Barrantes y Rocío Tajuelo Díaz |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
En el trabajo que se presenta a continuación, vamos a estudiar la ecuación del calor en una dimensión. Para ello, vamos a considerar una varilla metálica que se encuentra aislada por su superficie lateral, de modo que la conducción de calor se produzca en la dirección longitudinal. Partiendo de esto y añadiendo ciertas condiciones de frontera, que iremos modificando a lo largo del trabajo, vamos a calcular la solución de la ecuación del calor y la vamos a representar.
2 Conceptos previos
En esta sección, vamos a presentar algunos conceptos esenciales para comprender la obtención del sistema EDP que permite modelizar el problema.
Ley de Fourier: Establece que el flujo de transferencia de calor por conducción es proporcional y de sentido contrario al gradiente de temperatura ([math] T [/math]) en esa dirección. En nuestro caso, al trabajar en una dimensión, [math] \nabla T(\textbf{x},t)= T_{x} [/math] y la ley de Fourier es
siendo [math] q [/math] el flujo de transferencia de calor y [math] k [/math] el coeficiente de conductividad térmica.
Energía calorífica: La energía calorífica [math] e [/math] es una forma de energía que se produce como resultado del movimiento de átomos en un objeto y es una medida de la cantidad total de energía cinética de estos. La expresión que relaciona la temperatura del objeto con la energía calorífica es:
siendo [math] c [/math] el calor específico, que se define como la cantidad de calor que hay que suministrar a la unidad de masa de una sustancia para elevar su temperatura en una unidad.
Principio de conservación de la energía.
PONER FÓRMULA
3 Planteamiento del problema
Para comenzar con el estudio de la ecuación del calor, primero debemos plantear el problema a resolver, que involucra esta ecuación junto a ciertas condiciones de frontera y condición inicial. Como ya se ha mencionado, en nuestro estudio vamos a considerar una varilla metálica que se encuentra aislada por su superficie lateral. De esta manera, la conducción de calor se produce únicamente en la dirección longitudinal.
Además, vamos a considerar que la temperatura inicial de la varilla es 0 ºC. También vamos a fijar la temperatura en el extremo izquierdo en 0ºC y en el derecho a 1ºC.
Teniendo en cuenta el principio de conservación la energía y la definición de la energía en función de la temperatura, así como las condición inicial y de frontera, se obtiene el siguiente sistema de EDP:
Suponemos que tanto la conductividad térmica [math]k[/math] como el calor específico [math]c[/math] toman el valor constante [math]1[/math]. Entonces, el sistema de EDP final queda de la siguiente forma:
4 Resolución del sistema EDP
Una vez planteado el sistema, procedemos a resolverlo. Para ello, con el objetivo de homogeneizar las condiciones de frontera, vamos a comenzar obteniendo la solución estacionaria.
4.1 Solución estacionaria y homogeneización del sistema
Para calcular la ecuación del estado estacionario, vamos a tomar el tiempo [math] t [/math] infinito. Esto implica que la variación de la temperatura con respecto al tiempo desaparezca, de modo que la ecuación del sistema HACER REFERENCIA es ahora [math] T_{xx}=0[/math].
Considerando además las condiciones [math] T(0)=0[/math] y [math] T(1)=0[/math], provenientes de las condiciones frontera del problema original, se tiene que la solución de la ecuación del estado estacionario es:
En la siguiente gráfica, se representa esta solución:
Consideramos ahora el problema equivalente con condiciones de frontera homogéneas, donde se define [math] T_{hom}(x,t):= T(x,t)-T_{est}(x)[/math]:
Obtenemos la solución de este problema aplicando separación de variables
y llegamos a que dicha solución es
