Diferencia entre revisiones de «Series de Fourier (Grupo 2 1/2)»

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donde cada coeficiente complejo se obtiene de la siguiente manera,
 
donde cada coeficiente complejo se obtiene de la siguiente manera,
 
<center> <math> c_{k} = \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} f(z) e^{\frac{-i\cdot nz\pi}{T}}  \, dz    </math></center>
 
<center> <math> c_{k} = \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} f(z) e^{\frac{-i\cdot nz\pi}{T}}  \, dz    </math></center>
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En el espacio  <math>L^{2}[-T,T]</math> de funciones que toman valores complejos, el producto escalar,
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<center> <math> (f,g)_{L^[2]} =\int_{-T}^{T} f(x) \overline{g(x)} \, dx </math></center>
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toma valores complejos. Por tanto, los coeficientes de Fourier serán número complejos, a pesar de que las funciones tomen valores reales.
  
  

Revisión del 20:43 13 feb 2024

Trabajo realizado por estudiantes
Título Series de Fourier.
Asignatura EDP
Curso 2023-24
Autores Alfredo de Lorenzo, Hugo Sanz, Manuel Fdez.
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

2 Base trigonométrica

close all
clear
% Definir el rango de x
x_values = linspace(-1, 1, 1000);

% Definir las funciones
num_functions = 4;
seno = cell(1, num_functions);
coseno = cell(1, num_functions);
legends = cell(1, num_functions);
f = @(x) 1/2;

for n = 1:num_functions
        % Funciones seno 
        seno{n} = sin(n *pi* x_values);
        legendss{n} = ['f(x)=sin(', num2str(n), 'pix)'];
    % Funciones coseno
        coseno{n} = cos(n *pi* x_values);
        legendsc{n} = ['f(x)=cos(', num2str(n), 'pix)'];
end

% Graficar todas las funciones en una sola gráfica con colores diferentes
figure(1)
for i = 1:num_functions 
    subplot(1,4,i)
    plot(x_values, seno{i}, 'DisplayName', legendss{i});
    legend(legendss{i});
    xlabel('x');    
    ylabel('f(x)');
end


figure(2)
for i = 1:num_functions 
    subplot(1,4,i)
    plot(x_values, coseno{i}, 'DisplayName', legendsc{i});
    legend(legendsc{i});
    xlabel('x');
    ylabel('f(x)');
end

figure(3)
plot(x_values,ones(size(x_values))*1/2,'DisplayName', '1/2')
legend('f(x)=1/2');
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
grid on;
hold off;


3 Aproximación de una función

3.1 Funciones continuas

En primer lugar se estudiarán las funciones continuas, y como se pueden aproximar mediante la serie de Fourier. Para ello se trabajará como ejemplo con la función x.(1-x) y le daremos una aproximación en el intervalo [0,1] usando la base trigonométrica. Para ello, en primer lugar se comprueba que se pueda extender de forma impar. Una vez hecho, se de fine la extensión, que en este caso es x.(1+x). Una vez se ha obtenido, ya está definida la función en el intervalo [-1,1], y se obtienen los coeficientes de Fourier. Cabe destacar, que al estar trabajando con una función impar, como resultado todos los coeficientes asociados al coseno serán 0, al ser pares, y de los asociados al seno uno de cada dos lo será, aquellos que sean pares por ser multiplicación de impares. Una vez calculados los términos, se verán las series de Fourier. Se han representado las series relativas a n=1,5,10 y se muestra como varia el error. 

% Definir la función a integrar
fa_par = @(x, n) sin(pi * n * x) .* (x.*(1-x));
fb_par = @(x, n) cos(pi * n * x) .* (x.*(1-x)); 
fa_impar = @(x, n) sin(pi * n * x) .* (x.*(1+x));
fb_impar = @(x, n) cos(pi * n * x) .* (x.*(1+x));
f = @(x) (x.*(1-x));
h = @(x) (x.*(1+x));
% Tolerancia para el método del trapecio
xx=-1:10^(-3):0;
xxx=0:10^(-3):1;
%numero de terminos
i=10;
% Inicializar un vector para almacenar los resultados
b_k = zeros(i, 1);
a_k = zeros(i, 1);

% Calcular las integrales para n desde 1 hasta 20 usando el método del trapecio adaptativo
for n = 1:i
    resultado_seno = trapz(xx,fa_impar(xx, n))+trapz(xxx,fa_par(xxx, n));
    resultado_cos = trapz(xx,fb_impar(xx, n))+trapz(xxx,fb_par(xxx, n)); 

    % Almacenar el resultado
    b_k(n) = resultado_seno;
    a_k(n) = resultado_cos; 
end
%Serie de fourier para n=i
fn = @(x) 0;
for n=1:i
    fn = @(x) b_k(n) * sin(n*pi*x) + fn(x);
end

% Definir la función
x = linspace(-1, 1, 100000); % Generar 100 puntos en el rango [0, 1]
x2 = linspace(0, 1, 100000); % Generar 100 puntos en el rango [0, 1]
y = linspace(-1, 0, 100000); % Generar 100 puntos en el rango [0, 1]

% Trazar la función
figure(1)
hold on 
plot(x, fn(x), 'r--')
plot(x2, f(x2),'blue-')
plot(y, h(y),'yellow-')
title('Comparación f y fn'); % Título del gráfico
legend('fn(x)', 'f(x)', 'h(x)')
grid on; % Activar la cuadrícula
hold off

% Mostrar los resultados
disp('Resultados para coefs del seno usando el método del trapecio:');
disp(b_k);
disp('Resultados para coefs del coseno usando el método del trapecio:');
disp(a_k);

fn = @(x) 0;
for n=1:i
    fn = @(x) b_k(n) * sin(n*pi*x) + fn(x);
    abs_diff = @(x) abs(f(x) - fn(x)).^2;
    integral_result(n) = sqrt(formula_trapecio(abs_diff, 0, 1,tolerancia));
    abs_diffneg = @(x) -abs(f(x) - fn(x));
    [supremo(n), x_supremo(n)] = (fminbnd(abs_diffneg, 0, 1));
end
N=zeros(i);
for n=1:i
    N(n)=n;
end

figure(2)
hold on 
plot(N, log(integral_result),'r-')
plot(N, log(abs(x_supremo)),'b--')
xlabel('n'); % Etiqueta del eje x
ylabel('error'); % Etiqueta del eje y
title('Gráfico fn'); % Título del gráfico
grid on; % Activar la cuadrícula
hold off

Se muestra en los distintos casos, la función que es la roja, y su aproximación mediante serie de Fourier. En la gráfica del logaritmo del error, vemos el lo función roja, es el error uniforme, y la azul es el error en las normas L^2. Se ha empleado el logaritmo, ya que en este caso, no se puede apreciar bien la forma en la que disminuye, y el logaritmo nos da una mejor idea. Se aprecia como ha medida que la n aumenta, el error disminuye, como es lógico.

3.2 Funciones discontinuas

En este segundo caso, el razonamiento es igual que el anterior, la única diferencia es que en este caso la extensión es par, siendo la función: Lo que sea Y una vez hecha la extensión, se calcularán los coeficientes de la serie de Fourier, pero en este caso todos son distintos de cero. La idea es ver las diferencias a la hora de aproximar una función continua o discontinua mediante una serie de Fourier. 

clc
clear
format long
close all

g = @(x) (x > 0 & x < 0.5);
% Definir la función a integrar
funa = @(x, n) sin(pi * n * x);
funb = @(x, n) cos(pi * n * x);
func = @(x, n) cos(pi * n * x).^2;
fund = @(x, n) sin(pi * n * x).^2;
% Definir los límites de integración
a = -1; %A pesar de ser [-1,1], fuera de [-1/2,1/2] toma el valor 0
b = 1; 
xx= -1/2:10^(-3):1/2;
xxx= -1:10^(-3):1;

% Tolerancia para el método del trapecio adaptativo
tolerancia = 1e-10;
%numero de términos
i=10;

% Inicializar un vector para almacenar los resultados
ak = zeros(i, 1); %coeficientes del seno
bk = zeros(i, 1); %coeficientes del coseno


% Calcular las integrales para n desde 1 hasta i usando el método del trapecio adaptativo
for n = 1:i 
    ak(n) = trapz(xx,funa(xx,n))/trapz(xxx,fund(xxx,n));
    bk(n) = trapz(xx,funb(xx,n))/trapz(xxx,func(xxx,n));
end
a0= 1; %coeficiente de Fourier dado por 1/2
%Serie de fourier hasta n=i
fn = @(x) a0/2;
%Sumas de Cesarò
Sn = @(x) fn(x);
for n=1:i
    fn = @(x) bk(n) * cos(n*pi*x) + fn(x);
    Sn = @(x)fn(x) + Sn(x);
    Snaux=@(x) 1/(n+1) * (Sn(x));
    abs_diffn = @(x) abs(g(x) - Snaux(x)).^2;
    integral_result(n) = sqrt(integral(abs_diffn, 0, 1));
    abs_diffneg = @(x) -abs(g(x) - Snaux(x));
    [supremo(n), x_supremo(n)] = fminbnd(abs_diffneg, 0, 1);
end
Sn = @(x) 1/(i+1) * (Sn(x));

% Definir la función
x = linspace(0, 1, 100000); % Generar 100 puntos en el rango [0, 1]

% Trazar la función
hold on 
plot(x, fn(x))
plot(x,g(x)) %gráfica de la función característica
xlabel('x'); % Etiqueta del eje x
ylabel('f(x)'); % Etiqueta del eje y
title('Gráfico fn'); % Título del gráfico
grid on; % Activar la cuadrícula
hold off

% Mostrar los resultados
disp('Resultados para coefs del seno usando el método del trapecio:');
disp(ak);
disp('Resultados para coefs del coseno usando el método del trapecio:');
disp(bk);

%Vemos que se produce el llamado "fenómeno de Gibbs" por lo que definimos
%otra función usando las sumas de Cesarò

figure

hold on 
plot(x, Sn(x))
plot(x,g(x)) %gráfica de la función característica
xlabel('x'); % Etiqueta del eje x
ylabel('f(x)'); % Etiqueta del eje y
title('Gráfico Sn'); % Título del gráfico
grid on; % Activar la cuadrícula
hold off

N=zeros(i);
for n=1:i
    N(n)=n;
end

figure 

hold on 
plot(N, (integral_result))
plot(N,(abs(x_supremo)))
xlabel('n'); % Etiqueta del eje x
ylabel('error'); % Etiqueta del eje y
title('Gráfico fn'); % Título del gráfico
grid on; % Activar la cuadrícula
hold off


4 Cambio de intervalo

En esta sección se trabajará como modificar un intervalo dado para obtener su base trigonométrica asociada.

Sea [math] [a,b] [/math] el intervalo dado, para poder obtener su base trigonométrica se debe buscar otro intervalo de forma que podamos obtener su base. Estos intervalos son de la forma [math] [-T,T] [/math], simétricos respecto a 0, y se debe verificar la siguiente condición: [math] long(-T,T)= long(a,b) [/math].

En dicho caso, se ha visto anteriormente como se calcula la base en dicho intervalo.

Se plantea el siguiente ejemplo para facilitar la comprensión de esta sección.

Dado el intervalo [math][1,3][/math], obtener su base trigonométrica asociada y además aproximar la función [math]f(x) = xe^{-x}[/math] en dicho intervalo.

En primer lugar, para obtener la base trigonométrica se buscará el intervalo cuya longitud es 2, entonces se toma el intervalo [math][-1,1][/math].

Por tanto, según lo visto en secciones anteriores, la base trigonométrica será [math]\{ \frac{1}{2}, cos(\pi n x), sen(\pi n x)\}[/math]

Para poder aproximar la [math]f[/math] dada por la serie de Fourier, se debe trasladarla una longitud de 2 para poder trabajar con la base obtenida. Es decir, los coeficientes de Fourier obtenidos serán de [math]g(x)=f(x+2)=(x+2)e^{-(x+2)}[/math], para así, a la hora de representar [math]f_{n}[/math] en el intervalo [math][1,3][/math] se corresponda con la función [math]f(x)[/math] original.

A continuación, se muestra el código con el cual se han obtenido los coeficientes de [math]g(x)[/math] asociados al intervalo [math][-1,1][/math]. El ejemplo se muestra para tres casos, la aproximación con 5, 10 y 20 coeficientes. 

% Definimos las funciones
f = @(x) (x .* exp(-x));
funa = @(x, n) sin(pi*n*x) .* ((x+2) .* exp(-(x+2)));
funb = @(x, n) cos(pi*n*x) .* ((x+2) .* exp(-(x+2)));
fun0 = @(x) ((x+2).* exp(-(x+2)));

% Tolerancia para el método del trapecio
xx=-1:10^(-3):1;

%numero de terminos
terminos=[5,10,20];
k=1
for i=terminos
    
    % Inicializar un vector para almacenar los resultados
    results = zeros(i, 1);
    
    % Calcular las integrales para n desde 1 hasta 20
    for n = 1:i
        % Utilizar la función integral para calcular la integral definida
        a_k(n) = trapz(xx,funa(xx, n)) ;
        b_k(n) = trapz(xx,funb(xx, n));
    end
    
    %veamos el termino a0
    a0 = trapz(xx,fun0(xx));
    
    % Mostrar los resultados
    disp('Resultados para cada n del seno:');
    disp(a_k);
    disp('Resultados para cada n del coseno:');
    disp(b_k);

En esta parte del código se ha obtenido la correspondiente serie de Fourier, 

%Calculemos la serie de Fourier
    fn=@(x) a0/2;
    for n=1:i
        fn = @(x) a_k(n)*sin(n*pi*x)+ b_k(n)*cos(n*pi*x) + fn(x);
    end

Y finalmente obtenemos las gráficas donde se observa como se aproxima la serie de fourier a la función original [math]f(x)[/math] en [math][1,3][/math]

Ejercicio4FourierManuel.png 
% Trazar la función
    x = linspace(1, 3, 1000);
    subplot(1,3,k)
    plot(x,f(x),'b')
    hold on
    plot(x,fn(x),'r--')
    title('Comparación f y fn para n='+ string(i)); % Título del gráfico
    legend( 'f(x)','fn(x)')
    grid on; % Activar la cuadrícula
    hold off
    k=k+1
end


5 Aproximación de una función con base trigonométrica compleja

Una vez trabajado con bases trigonométricas reales, se verá como se puede trabajar con una base trigonométricas compleja. La base trigonométrica compleja en un intervalo [math] [-T,T] [/math] es de la forma [math]\{ e^{\frac{\pm inx\pi}{T}} \} [/math].

La serie de Fourier compleja es de la forma,

[math]f= \sum_{i=- \infty}^{\infty} c_{k} e^{i \cdot 2nx\pi}[/math]

donde cada coeficiente complejo se obtiene de la siguiente manera,

[math] c_{k} = \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} f(z) e^{\frac{-i\cdot nz\pi}{T}} \, dz [/math]

En el espacio [math]L^{2}[-T,T][/math] de funciones que toman valores complejos, el producto escalar,

[math] (f,g)_{L^[2]} =\int_{-T}^{T} f(x) \overline{g(x)} \, dx [/math]

toma valores complejos. Por tanto, los coeficientes de Fourier serán número complejos, a pesar de que las funciones tomen valores reales.


Esto se particularizará para el intervalo [math][0,1][/math] y la función [math]f(x) = 4x \cdot (\frac{1}{2} - x)^{2}[/math].

Repitiendo el proceso de la sección anterior para definir el intervalo donde se puedan calcular los coeficientes (complejos) de Fourier, se debe tomar [math]T=\frac{1}{2}[/math], entonces el intervalo será [math][-\frac{1}{2},\frac{1}{2}][/math].

Entonces la base de este caso particular será:

[math] \{ e^{\pm i \cdot 2nx\pi} \} [/math]
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