Revisión actual del 18:46 17 dic 2023

En este trabajo vamos a exponer la curva y sus múltiples propiedades matematico-físicas en el ámbito civil. Para eso haremos uso de la herramienta MatLab con la que explicaremos todos los puntos de esta curva y representaremos cada uno con imágenes viéndose así toda la información. En cada punto haremos una breve introducción con las fórmulas que hemos utilizado, desarrollándolas para que se llegue a entender los pasos y de donde vienen los cálculos.

• La expresión de la clotoide en cartesianas, viene dada por la siguiente expresión:

1 La Clotoide

1.1 Representación de la curva

La curva Clotoide se define:

Representacion de la curva

%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.
clc,clear,clf
%Comezamos discretizando los valores	
n=300;
t=linspace(0,4,n);
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.
for i=1:n
   j=t(i);
   X(i)=integral(f1,0,j);
   Y(i)=integral(f2,0,j);
end
plot(X,Y)
axis([0,2,0,2])

1.2 Vectores velocidad y aceleración

Los vectores velocidad y aceleración se calculan a través de la derivación de la curva. Como estamos ante la derivación de integrales, haremos uso del teorema fundamental del cálculo para extraer la información de los vectores velocidad y posteriormente aceleración:

• El vector velocidad se define como:

[math] {\gamma }'(t)={x}'(t) \vec i + {y}'(t) \vec j = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(0,4) [/math]

• El vector aceleración se define como:

[math] {\gamma }''(t)={x}''(t) \vec i + {y}''(t) \vec j = -t\cdot sin(\frac{t^2}{2}) \vec i+t\cdot cos(\frac{t^2}{2}) \vec j, t∈(0,4) [/math]

Representacion de la curva

%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:
clc,clear,clf
%Discretizamos los valores de t en n:
n=50;
t=linspace(0,4,n);
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
for i=1:n
   j=t(i);
   X(i)=integral(f1,0,j);
   Y(i)=integral(f2,0,j);
end
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):
Vx=cos(t.^2/2);
Vy=sin(t.^2/2);
Ax=-sin(t.^2/2).*t;
Ay=cos(t.^2/2).*t;
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:
hold on
plot(X,Y,'b')
quiver(X,Y,Vx,Vy)
quiver(X,Y,Ax,Ay)
axis([0,2,0,2])
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración')
xlabel('x')
ylabel('y')

1.3 Longitud de curva

El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})^2+sin(\frac{t^2}{2})^2} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 [/math]

1.4 Vector tangente y normal

• El vector tangente de la curva se define como:

[math] \vec t (t) =\tfrac{{\gamma}'(t)}{\left |{\gamma}'(t) \right |} = \tfrac{{\gamma}'(t)}{1} = cos(\frac{t^2}{2}) \vec i+sin(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]
Si observamos detenidamente, la velocidad v(t) equivale a [math] \frac{d}{dt}(\gamma(t)) [/math] que es justamente [math] {\gamma}'(t) [/math] y por tanto los vectores tg a cada punto de [math] \gamma(t) [/math] son iguales en dirección, sentido y módulo que la velocidad.

• Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de π/2 con los vectores tangentes y se definen como:

[math] \vec n (t) =\tfrac{-{y}'(t) \vec i+{x}'(t) \vec j}{\sqrt{{x}'(t)^2 \vec i + {y}'(t)^2 \vec j}} = \tfrac{-sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j}{1} = -sen(\frac{t^2}{2}) \vec i+cos(\frac{t^2}{2}) \vec j [/math]
Si nos fijamos, los vectores normales tienen la misma dirección y sentido que los vectores aceleración, pero en cuanto al módulo varían.

Representacion de la curva

%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.
clc,clear,clf
%Comezamos discretizando los valores
n=50;
t=linspace(0,4,n);
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.
for i=1:n
   j=t(i);
X(i)=integral(f1,0,j);
Y(i)=integral(f2,0,j);
end
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la
%curva
%como el módulo  ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)
tx=cos(t.^2/2);
ty=sin(t.^2/2);
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)
nx=-sin(t.^2/2);
ny=cos(t.^2/2);
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:
hold on
plot(X,Y,'b')
quiver(X,Y,tx,ty)
quiver(X,Y,nx,ny)
axis([0,2,0,2])
hold off
title('Curva, tangente y normal.')
xlabel('x')
ylabel('y')

1.5 Curvatura de κ(t)

La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente fórmula:

[math] \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} [/math] ,siendo [math] κ(t) [/math] la curvatura de [math] \gamma(t). [/math]

El desarrollo de la curvatura de la clotoide está dada por esta expresión:

[math] \kappa (t)=\frac{cos(\frac{t^2}{2})\cdot t\cdot cos(\frac{t^2}{2})-(-t\cdot sin(\frac{t^2}{2})\cdot sin(\frac{t^2}{2}))}{\sqrt{[(cos(\frac{t^2}{2}))^2+(sin(\frac{t^2}{2}))^2]^3}}=\frac{t}{1}=t [/math] ,[math] t∈(0,4) [/math]
La curvatura [math] κ(t) [/math] se define por una recta de m=1 y n=0 siendo m la pendiente y n el punto donde corta en las ordenadas, es decir, el origen. Esto sugiere que la curvatura de la clotoide va aumentando linealmente y es muy interesante ya que progresivamente vas recorriendo la curva, la curvatura va aumentando progresivamente. Este desarrollo nos lleva a comprender su uso en el ámbito civil.

derecha

%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)
clc,clear,clf
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar
%discretizamos t 
t=linspace(0,4);
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.
k=@(t) t ;
x=t;  %Coordenadas abscisas
y=k(t);  %Coordenadas ordenadas
plot(x,y,'b')
title('Curvatura De La Clotoide')
xlabel('x')
ylabel('y')

1.6 Circunferencia osculatriz

• El Radio de la circunferencia osculatriz se define por: [math] R(t)=\frac{1}{|κ(t)|}.→ R(1)=\frac{1}{t}=R(1)=1. [/math]

• El centro de la circunferencia osculatriz se define por : [math] Q(t) = \gamma(t)+\frac{1}{κ(t)} *\vec n(t)→ Q(t)=(Qx,Qy) [/math]

[math] Q(1)= (\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds \vec i \int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds \vec j) + \frac{1}{1}*(-sen(\frac{1}{2}) \vec i+cos(\frac{1}{2}) \vec j)= (\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds - sen(\frac{1}{2}))\vec i + (\int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds +cos(\frac{1}{2}))\vec j [/math]

La circunferencia osulatriz se define por la parametrización: [math] c(t)=(Qx+Rcost , Qy+Rsent) t∈(0,2π) [/math]

[math] c(t)=((\int_{0}^{1}cos(\frac{s^2}{2})ds - sen(\frac{1}{2}))+1*cos(t), (\int_{0}^{1}sin(\frac{s^2}{2})ds +cos(\frac{1}{2}))+ 1*sin(t)) t∈(0,2π) [/math]

Representacion de la curva

%Pregunta 6 -- Circunferencia osculatriz.
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:
n=100;
t=linspace(0,4,n);
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
for i=1:n
   j=t(i);
   X(i)=integral(f1,0,j);
   Y(i)=integral(f2,0,j);
end
%Calculamos las integrales para t=1:
X1=integral(f1,0,1);
Y1=integral(f2,0,1);
%Calculo el centro de la circunferencia, Q(t), para t=1:
% Qx(t)=X+1/k*nx(t); siendo nx la componente x del vector normal
% Qy(t)=Y+1/k*ny(t); siendo ny la componente y del vector normal
% siendo k=t=1
Qx=X1-sin(1/2);
Qy=Y1+cos(1/2);
t2=linspace(0,2*pi,n);
k=@(t) t;
R=1/k(1); %radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=1)
%Obtengo la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(t2);
Cy=Qy+R.*sin(t2);
%Por último dibujamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(X,Y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
hold off
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')

1.7 Información de la clotoide

Desde el lenguaje matemático,la clotoide es una curva tangente en el origen al eje X (abcisas) con un radio que va disminuyendo de forma inversamente proporcional a la distancia recorrida sobre la misma curva.

Estas curvas adquirieron gran importancia en el campo de la ingeniería en torno al siglo XIX, ya que fueron la solución a la sacudida que sufría un coche/tren al entrar en una curva cuando se empalmaban tramos rectos con arcos de circunferencia(debido al cambio brusco del radio de curvatura, que producía un gran aumento de la fuerza centrífuga). [math] F=m*(v^2/r) [/math]

NOTA:la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia que aparece cuando se describe el movimiento de un cuerpo en rotación.

Como la masa era difícil de disminuir, con menor velocidad tardaríamos más tiempo, el radio de curvatura es infinito en recta y en circunferencia haría que fuesen más cortas las curvas; la solución de los fisicos y matematicos fue crear una curva de transición (clotoide) entre recta y circunferencia que según fuese disminuyendo el radio, fuese aumentando la distancia recorrida (inversamente proporcional), siendo su producto siempre el mismo número.

-Ecuación curva clotoide: [math] d*r= C^2 [/math]

Mediante está ecuación,las clotoides poseen el fenómeno de evitar discontinuidades de la aceleración centrípeta(at mayor velocidad y curvatura) debido a que: -su curvatura es proporcional a la distancia a lo largo de la curva desde el origen, en cualquier punto. -su radio en el punto de tangencia con la recta(tiende a infinito); y su radio en el punto de tangencia con la curva que hace de enlace(uniforme).

En la actualidad las clotoides son utilizadas de manera habitual en vías y carreteras, como curvas de transición encadenando tramos de recta->clotoide->circunferencia->clotoide->recta; consiguiendo así que la fuerza centrífuga cambie de manera gradual y puedas girar el volante progresivamente sin ningún movimiento brusco.

1.7.1 Estructuras civiles donde se use la clotoide

Clotoide en carretera

Clotoide en montaña rusa

2 Superficie reglada: la helicoide

En este apartado nos vamos a detener a hablar de una superficie en forma de hélice o también llamada 'helicoide cilíndrico recto'. Esta superficie reglada es generada por una recta que se mueve alrededor de una curva hélice, girando girando sobre su eje a velocidad constante. Es una superficie mínima ya que su curvatura media es nula.

• La parametrización de la superficie en cartesianas es la siguiente:

Escalera helicoidal (Sagrada Familia)

2.1 Dibujado de la superficie helicoidal

En este apartado dibujaremos la superficie reglada definida anteriormente con vectores ortogonales de longitud 1 y dirección [math] \vec e_{p} [/math], pero como estamos trabajando en cartesianas, el vector director sería: [math] cos(\theta) \vec i + sin(\theta) \vec j [/math].

Representacion de la curva

%Pregunta_9--> Dibujado de la hélice reglada
%Comenzamos discretizando los valores de u,v
n=100;
d=1;  %distancia del vector
v=linspace(0,4*pi,n);
u=linspace(0,d,n);
%generamos el mallado
[U,V]=meshgrid(u,v);
%Definimos las componentes del la superficie
x=cos(V)+U.*cos(V);
y=sin(V)+U.*sin(V);
z=V;
%Dibujamos la superficie
axis equal
surf(x,y,z)
colorbar
shading flat
xlabel('x')
ylabel('y')
zlabel('z')
title('Superficie reglada: Helicoide')

2.2 Cálculo de la Masa de la Helicoide cilíndrico recto

Suponemos que la densidad de la superficie del apartado anterior viene dada por la función: [math] d(x,y,z)=10−x^2−y^2 [/math]

• La parametrización de la superficie [math] \sigma(u,v)[/math]

[math] x=cos(v)+u*cos(v) [/math]
[math] y=sin(v)+u*sin(v) [/math]
[math] z=v [/math]
Para [math] u \epsilon [0,1] [/math] y [math] v \epsilon [0,4 \pi] [/math]

• Ahora calcularemos el área de la superficie:

[math] \sigma_(u) = cos(v) \vec i + sin(v) \vec j [/math]
[math] \sigma_(u) = -sin(v)*(1+u) \vec i + cos(v)*(1+u) \vec j [/math]

• La densidad en parametrización:

[math] f(d(u,v))= 10- (cosv+u\cdot cosv)^{2}-(sinv+u\cdot sinv)^{2}=-u^{2}-2u+9 [/math]

• Cálculo de la masa:

[math] masa = \int_{u=0}^{u=1}\int_{v=0}^{v=4 \pi} (9-u^{2}-2u)\cdot (1+u) dvdu= 141.372 [/math]

%Calculo de la integral por metodo de aproximación numérica
f1= @(u) (9-u.^2-2*u).*(1+u) ;
Masa= 4*pi*(integral(f1,0,1));
fprintf('La Masa de la Hélice es: %.3f \n ',Masa)

Para ahorrarnos este cálculo, creamos este código de MatLab el cual nos da la masa de la superficie, que es 141.372 unidades de masa.

3 Bibliografía

www.cad-projects.org

www.clotoides.com

www.ingenieros-civiles.es

www.cifrasyteclas.com

www.repositorio.upct.es

ww.edu.xunta.gal