Diferencia entre revisiones de «Catenaria grupo Retiro»

Revisión del 13:46 15 dic 2023

{{ TrabajoED | Curva catenaria | [[:Categoría:Teoría de Campos|Teoría de Campos]]|[[:Categoría:TC23/24|2023-24]] | Paola Álvarez García, Nuria Moreno Cueva, Alba Martín Sánchez }}

1 Dibujar la curva

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

γ(t) = (x(t), y(t)) = (t, cosh(t)), t ∈ (−1, 1).

% Rango de valores para t 
t = linspace(-1, 1, 1000); 
% Coordenadas x e y de la curva catenaria 
x = t; 
y = cosh(t); 
% Dibujo de la curva catenaria 
figure 
plot(x,y); 
title('Curva Catenaria: \gamma(t) = (t, cosh(t))'); 
xlabel('x'); 
ylabel('y'); 
grid on;

2 Vectores velocidad γ’(t) y aceleración γ’(t)

γ’(t) = (1,sinh(t)) = i + sinh(t)j, t ∈ (−1, 1). γ’’(t) = (0,cosh(t)) = cosh(t)j, t ∈ (−1, 1).

n=20; 
t = linspace(-1,1,n); 
x = t; 
y = cosh(t); 
V1=linspace(1,1,n); 
V2=sinh(t); 
A1=linspace(0,0,n); 
A2=cosh(t); 
figure 
hold on 
%Curva 
plot(x,y,'LineWidth',2,'Color','red'); 
%Velocidad 
quiver(x,y,V1,V2,'b'); 
%Aceleración 
quiver(x,y,A1,A2,'g'); 
axis equal 
hold off

3 Longitud de la curva

4 Vectores tangente ~t(t) y normal ~n(t)

VECTOR TANGENTE:

x=t; 
y=cosh(t); 
% Vectores tangentes unitarios interiores 
t1i=(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2)); 
t2i=sinh(t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2)); 
% Vectores tangentes unitarios  
hold on 
plot(x,y,'LineWidth',2); 
quiver(x,y,t1i,t2i); 
hold off 
% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas 
ax = gca; 
ax.XAxisLocation = 'origin'; 
ax.YAxisLocation = 'origin'; 
% Etiquetas 
title('Vector tangente unitario') 
legend("Catenaria","Vector tangente unitario") 
axis("equal") 
ax.XAxisLocation = 'origin'; 
ax.YAxisLocation = 'origin'; 
box on 
grid minor

VECTOR NORMAL:

% Definición de los parámetros 
a=-1; 
b=1; 
h=0.09; 
t=a:h:b; 
% Definición de la curva 
x=t; 
y=cosh(t); 
% Vectores normales unitarios orientación interior 
n1i=sinh(t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2)); 
n2i=-(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2)); 
% Vectores normales unitarios orientación exterior 
n1e=-sinh(t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2)); 
n2e=(t./t)./(sqrt(1+(sinh(t)).^2)); 
hold on 
plot(x,y,'LineWidth',2); 
quiver(x,y,n1i,n2i); 
quiver(x,y,n1e,n2e); 
hold off 
% Centrado de la gráfica en el origen de coordenadas 
ax = gca; 
ax.XAxisLocation = 'origin'; 
ax.YAxisLocation = 'origin'; 
% Etiquetas 
title('Vectores normales') 
legend("Catenaria","Vector normal interior","Vector normal exterior") 
axis("equal") 
ax.XAxisLocation = 'origin'; 
ax.YAxisLocation = 'origin'; 
box on 
grid minor

5 Curvatura κ(t)

6 Circunferencia osculatriz

7 Información de la curva

La curva catenaria recibe este nombre por la forma que adopta una cuerda o cadena (“catena” en latín, de ahí su nombre) flexible de densidad uniforme, que está sujeta en sus dos extremos, y en la que la única fuerza que actúa sobre ella es la gravedad (es la forma que tendría una cuerda si la sujetásemos por sus extremos y la dejásemos caer).

Si nos adentramos en la historia de las matemáticas podremos ver cómo esta curva ha interesado a numerosos científicos. Al principio se definió como una parabola pero años más tarde se descubrió que no era la forma que adoptaba la cadena al ser sujeta por sus extremo y caer por la gravedad.

Joachuin Jungius fue el primero en refutar la hipótesis de que la cadena adoptaba forma de parábola, pero sin ser capaz de dar la solución. Fue en 1691 que tres matemáticos obtuvieron la ecuación. Se trataba de Johann Bernoulli, Gottfried Leibniz y Christiaan Huygens.

• 

  Diferencia entre parábola y catenaria

• 

  Diferencia entre parábola y catenaria

8 Ejemplos

9 Superficie de revolución

10 Distribución de la densidad a lo largo de la superficie

La función de densidad de superficie dada es f(x,y,z)=z^2. Para analizar cómo se distribuye la densidad en la superficie, podemos examinar la variación de f en la parametrización de la superficie. En este contexto, la parametrización se expresa como x(u,v)=(cosh(u)cos(v),cosh(u)sin(v),u). La densidad a lo largo de la superficie está definida como f(u,v)=z^2(u,v)=u2.

Esto implica que la densidad aumenta cuadráticamente con respecto a u, la coordenada a lo largo del eje z. En otras palabras, a medida que nos alejamos del eje z, la densidad aumenta de manera cuadrática.

Una vez que entendemos la distribución de la densidad en la superficie, podemos proceder a calcular la masa de la superficie.

La masa M la podemos calcular:

[[Categoría:Teoría de Campos]]

[[Categoría:TC23/24]]