Diferencia entre revisiones de «Flujo de Poiseuille (GRUPO 10A)»

Revisión del 16:08 13 dic 2023

1 Introducción

La ley de Poiseuille se utiliza para describir el flujo estacionario y laminar de un líquido incomprensible. En el estudio de esta ley nos enfocamos en el flujo de un líquido incomprensible a través de una tubería cilíndrica cuyo radio es 2 centrada en el eje OZ. La magnitud de este flujo viene determinada por el gradiente de presión y el radio de la propia tubería, para el desarrollo de este estudio hemos utilizado los programas Octave y Matlab y hemos trabajado en coordenadas cilíndricas.

2 Sección de la tubería

Representación del mallado de dimensión 2, de la sección longitudinal del eje x=0. Consideraremos la región encerrada en las coordenadas (rho,z)=[0,3]x[0,10].

Campo de velocidades

%1. Definimos los ejes
rho=0:0.2:2; 
z=0:0.2:10; 
%2. Definimos mallado en 2 dimensiones
[xx,yy]=meshgrid(rho,z); %Mallado XY.
hold on
mesh(xx,yy,0.*xx); %Representamos la tubería
axis([0,3,0,10]); %Rango de los ejes
xlabel('ρ') ;
ylabel('z') ;
view(2);
title ('Mallado de la sección');
hold off

3 Ecuación de Navier-Stokes Estacionaria

La ecuación de Navier-Stokes describe como se mueve un fluido newtoniano. Esta herramienta es esencial para comprender como se comportan los fluidos en sistemas hidráulicos, como tuberías, canales... Antes de sumergirnos en la demonstración es crucial establecer que el fluido es incompresible ya que esta ecuación rige el comportamiento de los fluidos newtonianos. En el enunciado nos proporcionan la siguiente igualdad: [math]\overrightarrow{u}\left ( \rho ,\theta ,z \right )=f\left ( \rho \right )\overrightarrow{ez}[/math] y su presión [math]p\left ( x,y \right )=p1+\left ( p2-p1 \right )\left ( z-1 \right )[/math], donde [math]\mu[/math] es el coeficiente de viscosidad, p1 es la presión en los puntos z = 1, p2 la presión en los puntos z = 3. Para entender la formula es importante conocer a que se refiere cada termino, pues [math]\mu[/math] es el coeficiente de viscosidad, p1 representa la presión para valores de z=1, y por consiguiente p2 lo hará para los valores de z=2. El primer térmido de la ecuación será: [math](\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u})[/math] Si sustituimos por nuestro campo y lo desarrollamos veremos que nos queda el vector nulo por lo que el primer término de la ecuación de Navier-Stokes no interviene.

Esta última ecuación es una derivada segunda del campo requerido, por lo que debemos integrar dos veces, una vez múltiplicado por [math] \rho [/math]

Para continuar debemos comprender el sistema, y saber que en [math] \rho=2 [/math] la ecuación será 0 y para [math] \rho=2 [/math] no tenderá a infinito, lo que nos deja lo siguiente:

[math]f\left (2\right )=0[/math],

[math]f\left ( 0 \right )=0[/math], [math]C=0[/math]

Como ya se comentó al principio del apartado, el fluido es incompresible, para comprobarlo calcularemos la divergencia del campo, y al darnos 0 podemos concluir que la hipótesis inicial es valida, pues en caso de ser el resultado negativo significaría que se contrae y lo contrario en caso de resultado positivo.

4 Campo de presiones y campo de presiones

Sustituyendo en la expresión del campo obtenemos:

Para su representación se ha introducido en Matlab, el siguiente código:

x=0:0.2:2;
y=0:0.2:10;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
ux=(-3./4).*xx.^2+3;
uy=0.*yy;
hold on
quiver(xx,yy,ux,uy)
axis([0,5,0,12])
xlabel('ρ');
ylabel('z');
hold off
view(2)
title('CAMPO DE VELOCIDADES')

x=0:0.2:2;
z=0:0.2:10;
[X,Z]=meshgrid(x,z);
figure(1);
p=4-3/2*(Z-1);
surf(X,Z,p);
colorbar;
view(2);
axis([0,3,0,10]);
title('CAMPO DE PRESIONES');
xlabel('ρ');
ylabel('z');