Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (Grupo 39)»
De MateWiki
(→Curvatura de κ(t)) |
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| Línea 140: | Línea 140: | ||
== Circunferencia osculatriz == | == Circunferencia osculatriz == | ||
| + | El Radio de la circunferencia osculatriz se define por: R(t)=1/|κ(t)|.→ R(0.3)=1/t=R(0.3) = 10/3. | ||
| + | El centro de la circunferencia osculatriz se define por : Q(t) = ૪(t)+1/κ(t)*n(t)→ Q(t)=(Qx,Qy) | ||
| + | La circunferencia osulatriz se define por la parametrización c(t)=(Qx+Rcost , Qy+Rsent) t∈(0,2ℼ) | ||
| + | {{matlab|codigo= | ||
| + | %Pregunta 6 -- Circunferencia osculatriz. | ||
| + | %Usamos el código de la pregunta 1 para la curva: | ||
| + | n=100; | ||
| + | t=linspace(0,4,n); | ||
| + | f1= @(s) cos(s.^2/2); | ||
| + | f2= @(s) sin(s.^2/2); | ||
| + | for i=1:n | ||
| + | j=t(i); | ||
| + | X(i)=integral(f1,0,j); | ||
| + | Y(i)=integral(f2,0,j); | ||
| + | end | ||
| + | %Calculamos las integrales para t=1: | ||
| + | X1=integral(f1,0,1); | ||
| + | Y1=integral(f2,0,1); | ||
| + | %Calculo el centro de la circunferencia, Q(t), para t=1: | ||
| + | % Qx(t)=X+1/k*nx(t); siendo nx la componente x del vector normal | ||
| + | % Qy(t)=Y+1/k*ny(t); siendo ny la componente y del vector normal | ||
| + | % siendo k=t=1 | ||
| + | Qx=X1-sin(1/2); | ||
| + | Qy=Y1+cos(1/2); | ||
| + | t2=linspace(0,2*pi,n); | ||
| + | k=@(t) t; | ||
| + | R=1/k(1); %radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=1) | ||
| + | %Obtengo la parametrización de la circunferencia, C(t): | ||
| + | Cx=Qx+R.*cos(t2); | ||
| + | Cy=Qy+R.*sin(t2); | ||
| + | %Por último dibujamos la curva junto a la circunferencia osculatriz: | ||
| + | hold on | ||
| + | plot(X,Y,'r') | ||
| + | plot(Cx,Cy,'b') | ||
| + | hold off | ||
| + | title('Curva y circunferencia osculatriz') | ||
| + | axis equal | ||
| + | xlabel('x') | ||
| + | ylabel('y') | ||
| + | }} | ||
Revisión del 12:38 12 dic 2023
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La Clotoide. Grupo 39 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Luis Relaño Rodríguez Daniel Pinyana Rodríguez Carlos Puebla Diaz Pau Vives Segui |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En este trabajo
Contenido
1 La Clotoide
1.1 Representación de la curva
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.
clc,clear,clf
%Comezamos discretizando los valores
n=300;
t=linspace(0,4,n);
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.
for i=1:n
j=t(i);
X(i)=integral(f1,0,j);
Y(i)=integral(f2,0,j);
end
plot(X,Y)
axis([0,2,0,2])
1.2 Vectores velocidad y aceleración
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:
clc,clear,clf
%Discretizamos los valores de t en n:
n=50;
t=linspace(0,4,n);
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
for i=1:n
j=t(i);
X(i)=integral(f1,0,j);
Y(i)=integral(f2,0,j);
end
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):
Vx=cos(t.^2/2);
Vy=sin(t.^2/2);
Ax=-sin(t.^2/2).*t;
Ay=cos(t.^2/2).*t;
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:
hold on
plot(X,Y,'b')
quiver(X,Y,Vx,Vy)
quiver(X,Y,Ax,Ay)
axis([0,2,0,2])
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración')
xlabel('x')
ylabel('y')
1.3 Longitud de curva
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 [/math]
\left |{\gamma }'(t) \right |=
1.4 Vector tangente y normal
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.
clc,clear,clf
%Comezamos discretizando los valores
n=50;
t=linspace(0,4,n);
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.
for i=1:n
j=t(i);
X(i)=integral(f1,0,j);
Y(i)=integral(f2,0,j);
end
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la
%curva
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)
tx=cos(t.^2/2);
ty=sin(t.^2/2);
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)
nx=-sin(t.^2/2);
ny=cos(t.^2/2);
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:
hold on
plot(X,Y,'b')
quiver(X,Y,tx,ty)
quiver(X,Y,nx,ny)
axis([0,2,0,2])
hold off
title('Curva, tangente y normal.')
xlabel('x')
ylabel('y')
1.5 Curvatura de κ(t)
La curvatura de la clotoide viene dada por la siguiente fórmula:
[math] \kappa (t)=\frac{{x}'(t)\cdot {y}''(t)-{x}''(t)\cdot {y}'(t)}{({x}'(t)^2 + {y}'(t)^2)^{\frac{3}{2}}} [/math], siendo κ(t) la curvatura de ૪(t).
%Pregunta 5 --> Calcular la curvatura κ(t), y dibujar la gráfica de κ(t)
clc,clear,clf
%Hacemos el cálculo de la curvatura de κ(t) y después la vamos a dibujar
%discretizamos t
t=linspace(0,4);
%Definimos la funcion k(t) la cual representa la curvatura de la clotoide.
k=@(t) t ;
x=t; %Coordenadas abscisas
y=k(t); %Coordenadas ordenadas
plot(x,y,'b')
title('Curvatura De La Clotoide')
xlabel('x')
ylabel('y')
1.6 Circunferencia osculatriz
El Radio de la circunferencia osculatriz se define por: R(t)=1/|κ(t)|.→ R(0.3)=1/t=R(0.3) = 10/3. El centro de la circunferencia osculatriz se define por : Q(t) = ૪(t)+1/κ(t)*n(t)→ Q(t)=(Qx,Qy) La circunferencia osulatriz se define por la parametrización c(t)=(Qx+Rcost , Qy+Rsent) t∈(0,2ℼ)
%Pregunta 6 -- Circunferencia osculatriz.
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:
n=100;
t=linspace(0,4,n);
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
for i=1:n
j=t(i);
X(i)=integral(f1,0,j);
Y(i)=integral(f2,0,j);
end
%Calculamos las integrales para t=1:
X1=integral(f1,0,1);
Y1=integral(f2,0,1);
%Calculo el centro de la circunferencia, Q(t), para t=1:
% Qx(t)=X+1/k*nx(t); siendo nx la componente x del vector normal
% Qy(t)=Y+1/k*ny(t); siendo ny la componente y del vector normal
% siendo k=t=1
Qx=X1-sin(1/2);
Qy=Y1+cos(1/2);
t2=linspace(0,2*pi,n);
k=@(t) t;
R=1/k(1); %radio de la circunferenica (es constante al ser k=t=1)
%Obtengo la parametrización de la circunferencia, C(t):
Cx=Qx+R.*cos(t2);
Cy=Qy+R.*sin(t2);
%Por último dibujamos la curva junto a la circunferencia osculatriz:
hold on
plot(X,Y,'r')
plot(Cx,Cy,'b')
hold off
title('Curva y circunferencia osculatriz')
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
