Diferencia entre revisiones de «La Clotoide (Grupo 39)»
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(→Longitud de curva) |
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<math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math> | <math> ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 </math> | ||
| − | + | <br /> | |
| + | |{\gamma }'(t) \right | | ||
== Vector tangente y normal == | == Vector tangente y normal == | ||
Revisión del 12:24 12 dic 2023
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | La Clotoide. Grupo 39 |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2023-24 |
| Autores | Luis Relaño Rodríguez Daniel Pinyana Rodríguez Carlos Puebla Diaz Pau Vives Segui |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En este trabajo
Contenido
1 La Clotoide
1.1 Representación de la curva
%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.
clc,clear,clf
%Comezamos discretizando los valores
n=300;
t=linspace(0,4,n);
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.
for i=1:n
j=t(i);
X(i)=integral(f1,0,j);
Y(i)=integral(f2,0,j);
end
plot(X,Y)
axis([0,2,0,2])
1.2 Vectores velocidad y aceleración
%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:
clc,clear,clf
%Discretizamos los valores de t en n:
n=50;
t=linspace(0,4,n);
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
for i=1:n
j=t(i);
X(i)=integral(f1,0,j);
Y(i)=integral(f2,0,j);
end
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):
Vx=cos(t.^2/2);
Vy=sin(t.^2/2);
Ax=-sin(t.^2/2).*t;
Ay=cos(t.^2/2).*t;
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:
hold on
plot(X,Y,'b')
quiver(X,Y,Vx,Vy)
quiver(X,Y,Ax,Ay)
axis([0,2,0,2])
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración')
xlabel('x')
ylabel('y')
1.3 Longitud de curva
El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:
[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 [/math]
|{\gamma }'(t) \right |
1.4 Vector tangente y normal
El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.
Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.
%Pregunta_4 -- Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva.
clc,clear,clf
%Comezamos discretizando los valores
n=50;
t=linspace(0,4,n);
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.
for i=1:n
j=t(i);
X(i)=integral(f1,0,j);
Y(i)=integral(f2,0,j);
end
%Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la
%curva
%como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que
%los vectores velocidad vector tangente(tx,ty)
tx=cos(t.^2/2);
ty=sin(t.^2/2);
%Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny)
nx=-sin(t.^2/2);
ny=cos(t.^2/2);
%Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos:
hold on
plot(X,Y,'b')
quiver(X,Y,tx,ty)
quiver(X,Y,nx,ny)
axis([0,2,0,2])
hold off
title('Curva, tangente y normal.')
xlabel('x')
ylabel('y')
1.5 Curvatura de κ(t)
En papel→ v (t) = x'(t)+y'(t)=cos(t2/2)i +sen(t2/2)j t∈(0,4) Velocidad
a(t) =x(t) +y(t) =tcos(t2/2)i-tsen(t2/2)j t∈(0,4) Aceleraciónsiendo κ(t) la curvatura de ૪(t)
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