Revisión del 12:21 12 dic 2023

En este trabajo

1 La Clotoide

1.1 Representación de la curva

Representacion de la curva

%Pregunta 1 -- Dibujado de la curva.
clc,clear,clf
%Comezamos discretizando los valores	
n=300;
t=linspace(0,4,n);
%defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales.
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
%Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán
% las coordenadas de X e Y y ploteamos.
for i=1:n
   j=t(i);
   X(i)=integral(f1,0,j);
   Y(i)=integral(f2,0,j);
end
plot(X,Y)
axis([0,2,0,2])

1.2 Vectores velocidad y aceleración

Representacion de la curva

%Pregunta 2 -- Cálculo de los vectores velocidad y aceleración.
%Usamos el código de la pregunta 1 para la curva:
clc,clear,clf
%Discretizamos los valores de t en n:
n=50;
t=linspace(0,4,n);
f1= @(s) cos(s.^2/2);
f2= @(s) sin(s.^2/2);
for i=1:n
   j=t(i);
   X(i)=integral(f1,0,j);
   Y(i)=integral(f2,0,j);
end
%Definimos los vectores velocidad (Vx, Vy) y aceleración (Ax, Ay):
Vx=cos(t.^2/2);
Vy=sin(t.^2/2);
Ax=-sin(t.^2/2).*t;
Ay=cos(t.^2/2).*t;
%Una vez tenemos los vectores los dibujamos:
hold on
plot(X,Y,'b')
quiver(X,Y,Vx,Vy)
quiver(X,Y,Ax,Ay)
axis([0,2,0,2])
hold off
title('Curva, velocidad y aceleración')
xlabel('x')
ylabel('y')

1.3 Longitud de curva

El cálculo de la longitud se calcula con la siguiente fórmula:

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b} \left |{\gamma }'(t) \right |= \int_{a}^{b} \sqrt{cos(\frac{t^2}{2})+sin(\frac{t^2}{2})} dt= \int_{0}^{4}1dt= 4-0= 4 [/math]

1.4 Vector tangente y normal

El vector tangente de la curva se define como t(t)=૪'(t)/|૪'(t)| si observamos y relacionamos, la velocidad v(t) equivale a d/dt(૪(t)) que es justamente ૪'(t) y por tanto los vectores tg a cada punto de ૪(t) son iguales en dirección y sentido que la velocidad pero no en módulo ya que son unitarios y los de la velocidad no.

Por otro lado los vectores normales son los vectores que forman un ángulo de 𝞹/2 con los vectores tangentes → n(t)= (-y'(t)i+x'(t)j)/√x'(t)2+y'(t)2.

Representacion grafica

%Pregunta_4-->Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva. clc,clear,clf %Comezamos discretizando los valores n=50; t=linspace(0,4,n); %defino las funciones que se encuentran dentro de las integrales. f1= @(s) cos(s.^2/2); f2= @(s) sin(s.^2/2); %Calculo las integrales limitadas de 0 a t. Los valores de cada integral serán % las coordenadas de X e Y y ploteamos. for i=1:n

  j=t(i);

X(i)=integral(f1,0,j); Y(i)=integral(f2,0,j); end %Una vez definida la, definimos los vectores tangentes y normales de la %curva %como el módulo ૪'(t) es = 1 los vectores tg a la curva son los mismos que %los vectores velocidad vector tangente(tx,ty) --> Notaciones para el wiki tx=cos(t.^2/2); ty=sin(t.^2/2); %Modulo de todo vector normal =1 vector normal (nx,ny) nx=-sin(t.^2/2); ny=cos(t.^2/2); %Una vez tenemos los vectores definidos dibujamos: hold on plot(X,Y,'b') quiver(X,Y,tx,ty) quiver(X,Y,nx,ny) axis([0,2,0,2]) hold off title('Curva, tangente y normal.') xlabel('x') ylabel('y')

Representacion grafica

1.5 Curvatura de κ(t)

En papel→ v (t) = x'(t)+y'(t)=cos(t2/2)i +sen(t2/2)j t∈(0,4) Velocidad

                    a(t) =x(t) +y(t) =tcos(t2/2)i-tsen(t2/2)j    t∈(0,4)     Aceleración

Representacion grafica

1.6 Circunferencia osculatriz

1.6.1 Definición

1.6.2 Radio y centro de la circunferencia

1.7 Imagen de la clotoide

1.7.1 Estructuras civiles donde se use la clotoide

2 Superficie reglada: la hélice

2.1 Calculo de la densidad definido por la función