Diferencia entre revisiones de «La Catenaria Grupo 38»

Revisión del 20:28 4 dic 2023

La catenaria.
Aunque el termino catenaria se emplea la mayoría de las veces para referirse a los cables del tendido eléctrico de los ferrocarriles, en matemáticas y arquitectura se emplea la palabra catenaria para designar la curva cuyo trazado sigue la forma que adquiere una cadena o cuerda de densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y que se encuentra sometida únicamente a las fuerzas de la gravedad. En sentido estricto no se trata de una curva sino una familia de curvas, en la que cada una de ellas viene determinada por las coordenadas de sus extremos y por su longitud

.

Consideramos la curva plana dada por la parametrización en coordenadas cartesianas:

Se tiene la siguiente curva plana parametrizada en coordenadas cartesianas que representa una catenaria:
[math] γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t)), t∈(-1,1)[/math]

1 Dibujar la curva

Para dibujarla hacemos uso del software de programación y cálculo numérico Matlab/Octave.

1.1 Código

% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 1000);
x = t;
y = cosh(t);

% Dibujar la curva
figure;
plot(x, y, 'LineWidth', 2);
title('Curva parametrizada: \gamma(t) = (t, cosh(t))');
xlabel('x');
ylabel('y');
grid on;

.

2 Calcular los vectores velocidad y aceleración, y dibujarlos junto a la curva

2.1 Definición vector posición, velocidad y aceleración

El vector posición es aquel que va desde el origen del sistema de referencia hasta la posición de la partícula.
El vector velocidad es la derivada del vector de posición con respecto al tiempo.
El vector aceleración es la derivada del vector velocidad. El vector aceleración [math]γ′′(t)[/math] no tiene por que ser ortogonal a [math]γ′(t)[/math] en general. Pero sí lo es si la curva [math]γ(t)[/math] está parametrizada por longitud de arco (es decir, si [math]|γ|´(t)| = 1[/math])

[math]γ(t) = (x(t),y(t)) = (t,cosh(t))[/math]

[math] γ´(t) = x′(t)\vec i + y′(t)\vec j = 1\vec i +(sen(h)t)\vec j [/math]

[math] γ´´(t) = x′′(t)\vec i + y′′(t)\vec j = 0\vec i + (cosh(t))\vec j[/math]

2.2 Representación de los vectores

% Parámetros 
t = linspace(-1,1,20);
x = t;
y = cosh(t);

% Velocidad y aceleración 
V1 = ones(size(t));  
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));  
A2 = cosh(t);

% Gráfica 
figure
hold on
plot(x, y, 'r');
quiver(x, y, V1, V2, 1, "Color", "c");
quiver(x, y, A1, A2, 1, "color", "m");
axis equal
hold off;

% Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
ax = gca;
ax.XAxisLocation = 'origin';
ax.YAxisLocation = 'origin';

% Labels
xlabel("x", "FontSize", 10);
ylabel("y", "FontSize", 10);

.

3 Calcular la longitud de la curva

% Calcular longitud de la curva utilizando el método del rectángulo
t=linspace(-1,1,50); %valores a t como vector en el intervalo dado
longitud = sum(sqrt(diff(t).^2 + diff(cosh(t)).^2)); % ponemos la fórmula de la longitud de curva como la integral del módulo del vector velocidad
disp(['Longitud de la curva: ' num2str(longitud)]); % imorime el resultado obtenido como longitud de curva

ó
% Calcular longitud de la curva y longitud acumulativa
longitud_seg = sqrt(diff(x).^2 + diff(y).^2);
longitud_acum = [0, cumsum(longitud_seg)]; % Agregar un cero al inicio para que tengan la misma longitud

% Ajustar t para que tenga la misma longitud que longitud_acum
t_acum = linspace(-1, 1, length(longitud_acum));

% Mostrar la longitud de la curva numéricamente
longitud_total = longitud_acum(end);
disp(['Longitud total de la curva: ' num2str(longitud_total)]);

% Graficar la longitud acumulativa
figure;
plot(t_acum, longitud_acum, 'LineWidth', 2);
title('Longitud acumulativa de la curva');
xlabel('t');
ylabel('Longitud acumulativa');
grid on;

Obtenemos una longitud de la curva de 2.3503

.

4 Calcular los vectores tangente t(t) y normal n(t), y dibujarlos junto a la curva

[math] ℓ(γ) = \int_{a}^{b}|γ′(t)|=\int_{a}^{b}\sqrt {x´(t)^2 +y´(t)^2}dt= \int_{0}^{2π}\sqrt{(1)^2 +(sinh(t))^2}[/math]

Un vector unitario tangente permite ver el cambio en la dirección sin mostrar cambios en la rapidez. Un vector unitario tangente es un vector con una magnitud de uno que es tangente de una función vectorial en un punto específico.

El vector unitario normal es un vector unitario que es perpendicular a la curva en un punto determinado. El vector unitario normal es especialmente útil cuando se trata de calcular la fuerza normal de un objeto en movimiento.
Ya que el vector unitario normal es perpendicular a la curva, también es perpendicular al vector unitario tangente. Esto significa que el producto escalar del vector unitario normal y el vector unitario tangente en cierto punto debería ser igual a 0. Para curvas parametrizadas por longitud de arco se tiene que [math]\vec n(t) [/math] y [math]γ′′(t) [/math] son múltiplos el uno del otro. Claramente [math]\vec n(t) \neq \vec 0 [/math] , por lo que se tiene que cumplir [math] γ′′(t) = κ(t)\vec n(t) [/math]

Obtenemos el vector tangente y el vector normal a través de las siguientes fórmulas:

Vector tangente: [math] \vec t(t)=\frac{γ′(t)}{|γ′(t)|}=\frac{(x´(t)\vec i +y´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (1-cost)\vec i +(sent)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}}[/math]

Vector normal: [math]\vec n(t)=\frac{(-y´(t)\vec i +x´(t)\vec j)}{\sqrt{x´(t)^2 + y´(t)^2}}=\frac{ (-sent)\vec i +(1-cost)\vec j}{\sqrt{(1-cost)^2 +(sent)^2}} [/math]

4.1 Representación de los vectores

A traves de Matlab podemos visualizar los vectores tangente y normal

% Definición de los vectores normales y tangentes 
   t= linspace(-1,1,20); %Parámetro
   x= t;
   y= cosh(t);
   % Velocidades/tangentes/normales 
   V1 = ones(size(t));  % Initialize a vector of ones with the same size as t
   V2 = sinh(t);
  mod= sqrt(V1.^2+V2.^2);
  t1= V1./mod
  t2= V2./mod
  n1= t2;
  n2= -t1;
 %Representación
  figure
  axis equal
  hold on
  plot (x ,y ,'b') ;
  quiver(x,y,t1,t2,1,"Color","r") ; 
  quiver(x,y,n1,n2,1,"Color","g") ; 
   grid on
  hold off;
  title('Curva, tangente y normal' )
   % Centrado de la grafica en el origen de coordenadas
  ax = gca;
  ax.XAxisLocation = 'origin';
  ax.YAxisLocation = 'origin';
 % Labels
  xlabel("x","FontSize",10);
  ylabel("y","FontSize",10);
  axis("equal")

5 Cálculo de curvatura

En este estudio de la curva parametrizada gamma(t) = (t, cosh(t)), examinaremos su curvatura (kappa), un parámetro que mide cómo la curva se desvía de ser recta en cada punto. La representación gráfica de kappa(t) revelará la "tensión" o "giro" de la curva en diferentes puntos, proporcionando una visión detallada de su comportamiento geométrico local.

% Definir la parametrización
t = linspace(-1, 1, 50);
x = t;
y = cosh(t);
% Velocidad y aceleración
V1 = ones(size(t));
V2 = sinh(t);
A1 = zeros(size(t));
A2 = cosh(t);
% Calcular la curvatura
numerador = V1 .* A2 - A1 .* V2;
denominador = sqrt(V1.^2 + V2.^2).^3;
curvatura = abs(numerador ./ denominador);
% Graficar la curvatura en función de t
figure;
plot(t, curvatura, 'LineWidth', 2);
title('Gráfica de la Curvatura \kappa(t)');
xlabel('t');
ylabel('\kappa(t)');
grid on;