Diferencia entre revisiones de «Campos y deformaciones en 2D (Grupo 23B)»

Revisión del 10:58 2 dic 2022

Tomaremos una placa plana que ocupa un cuarto de un anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2, en el plano y ≥ |x|. Dibujaremos con los ejes en el cuadrado [−3, 3] × [−1, 3]. Trabajaremos en coordenadas cilíndricas. Tomaremos como función de temperatura T (x, y) la que viene dada por: [math] T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 [/math], y el siguiente campo vectorial: [math] \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } [/math]

1 Dibujo del sólido

Comenzaremos dibujando un mallado que represente los puntos interiores del sólido, tomando los ejes en el cuadrado [-3; 3] × [-1; 3] y como paso de muestreo h = 1/10 para las variables x e y.

%Mallado interior placa rectangular
u=1:0.1:2;
v=pi/4:0.1:(3*pi)/4;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
xx=ro.*cos(teta);
yy=ro.*sin(teta);
mesh(xx,yy,yy*0);
axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Representación del mallado')
xlabel ('Eje x')
ylabel ('Eje y')

2 Dibujo curvas de nivel

Ahora dibujaremos también las curvas de nivel de la temperatura, que viene dada por el campo escalar: [math] T(x,y) = x^2 + (y-1)^2 [/math]. Podemos observar la variación de los colores en función de la temperatura. En la zona más fría se emplean tonos azules, mientras que en la zona más cálida se utilizan tonos amarillentos. En la gráfica, encontramos los puntos de máxima temperatura: [a,b] y [a,b].

u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
 figure(1)
 xx=ro.*cos(teta);
 yy=ro.*sin(teta);
 mesh(xx,yy,yy*0);
%Campo que define la temperatura
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,T)
 axis([-3,3,-1,3]);
 view(2)
 title('Campo de temperaturas');
subplot(2,1,2)
contour(xx,yy,T)
 axis([-3,3,-1,3]);
 view(2)
 colorbar

3 Cálculo y dibujo del gradiente

A continuación, calcularemos el gradiente y lo representaremos. Podemos ver gráficamente cómo los vectores resultantes son ortogonales a las curvas de nivel ahora ya conocidas. La razón de esto es que el gradiente muestra la dirección máxima de variación en cada punto. [math] \nabla T=2x\vec i+2(y-1)\vec j [/math]

%Cálculo del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
 figure(1)
 xx=ro.*cos(teta);
 yy=ro.*sin(teta);
 mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
T=xx.^2+(yy-1).^2;
%Dibujar las curvas de nivel (contour)
contour(xx,yy,T)
view(2)
hold on
 colorbar
hold on
%representación del gradiente
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
 figure(1)
 xx=ro.*cos(teta);
 yy=ro.*sin(teta);
mx=2*xx;
my=2*(yy-1);
quiver(xx,yy,mx,my);
axis equal 
axis([-3,3,-1,3]);
 view(2)
 title('Gradiente de T')

4 Dibujo campo de vectores

Posteriormente, vamos a dibujar el campo de vectores en los puntos del mallado de la placa, tomando el campo dado en el enunciado. Se ha realizado un cambio de coordenadas cilíndricas a cartesianas, conociendo la expresión del vector [math]\vec e_{\rho}\lt\math\gt: \vec e_{\rho}=\cos \theta \vec i+\sin \theta \vec j El campo en cilíndricas es el siguiente: \ltmath\gt \vec u(\rho,\theta)=\frac{\rho}{20}\sin(6(\theta-\frac{\pi}{4}))\vec e_{\rho } [/math] El campo en cartesianas nos queda: [math] \vec u(x,\theta)= [/math]

%Campo de vectores en el mallado del sólido
u=1:0.1:2;
v=0:0.1:pi;
[ro,teta]=meshgrid(u,v);
 xx=ro.*cos(teta);
 yy=ro.*sin(teta);
 mesh(xx,yy,yy*0);
figure(1)
mx=yy/20;
my=yy/10;
mesh(xx,yy,yy*0);
hold on
quiver(xx,yy,mx,my);
 axis([-3,3,-1,3]);
view(2)
title('Campo U')