Diferencia entre revisiones de «Trabajo grupo 4»

Revisión del 17:51 30 nov 2019

Consideramos una placa plana que ocupa un cuarto de anillo circular centrado en el origen de coordenadas y comprendido entre los radios [1,3], en el primer cuadrante [math]x,y\geq 0[/math]. En este campo tendremos definidas dos cantidades físicas, la temperatura [math]T(x,y)[/math] y los desplazamientos [math]\overrightarrow { u } (x,y)[/math].

1 Introducción

2 Mallado de la placa

Con lo definido anteriormente podremos dibujar con ayuda del programa Matlab el mallado que represente los puntos interiores del sólido, consideramos como paso de muestreo h=1/10. Como se puede observar en el mallado se puede notar que el aro no está completamente cerrado en la coordenada [math]\theta =\pi [/math]. Esto se debe al muestreo que tenemos, ya que en el intervalo final correspondiente, este será mayor que [math]\theta [/math] por lo que se omite.

(colocar el código y figura del apartado 1)

3 Temperatura

Una de las funciones definidas al principio es la temperatura, cuya ecuación será [math]T(x,y)=log(y+2)[/math] que podemos observar como cambian las curvas de nivel y la barra de colores a lo largo del sólido.

(código de la temperatura y figura 2)

Al tener las curvas de nivel en nuestro sólido y la función en la que varía la temperatura podemos obtener el gradiente de la misma [math]\nabla T[/math]. Aprovechamos para verificar que nuestras ecuaciones y los diagramas están correctos al utilizar una de las propiedades del gradiente. Como podemos observar el [math]\nabla T[/math] es ortogonal a las curvas de nivel del anillo.

Recordamos la fórmula general del cálculo de [math]\nabla T[/math] en coordenadas cartesianas [math]\nabla T=\frac { \partial T(x,y) }{ \partial x } \overrightarrow { i } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial y } \overrightarrow { j } \quad +\frac { \partial T(x,y) }{ \partial z } \overrightarrow { k } [/math].

Particularizándolo a nuestra temperatura [math]T(x,y)=log(y+2)[/math], obtenemos:
[math]\nabla T=0\overrightarrow { i } \quad +\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } \quad +0\overrightarrow { k } \longrightarrow [/math] [math] \nabla T=\frac { 1 }{ y+2 } \overrightarrow { j } [/math]

4 Campo de Desplazamiento

Queremos considerar un campo de desplazamiento [math]\overrightarrow { u } (\rho ,\theta )=f\left( \rho \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math] con las siguientes características:

• Los puntos situados en [math]\rho =1[/math] no sufren desplazamiento.
  
• El [math]\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }[/math].
  

Para poder calcular el campo de desplazamiento [math]\overrightarrow { u } [/math] debemos recordar el cálculo general del rotacional en las coordenadas cartesianas: [math]\nabla x \overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ { \overrightarrow { u } }_{ \rho } & { \overrightarrow { u } }_{ \theta } & { \overrightarrow { u } }_{ z } \end{matrix} \right| \quad [/math]

[math]\nabla x\overrightarrow { u } =\frac { 1 }{ \rho } \left| \begin{matrix} { \overrightarrow { g } }_{ \rho } & { \overrightarrow { g } }_{ \theta } & { \overrightarrow { g } }_{ z } \\ \partial \rho & \partial \theta & \partial z \\ 0 & { \rho }^{ 2 }\cdot f\left( \rho \right) & 0 \end{matrix} \right| =\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial \rho } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ z }[/math][math]\qquad \longrightarrow \qquad\frac { 1 }{ \rho } \frac { \partial }{ \partial \rho } \left( { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) \right) { \overrightarrow { g } }_{ z }=\frac { 3\rho -2 }{ 10 } { \overrightarrow { g } }_{ z }[/math].

[math]\int { \frac { \partial }{ \partial \rho } { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) } =\int { \frac { 3{ \rho }^{ 2 }-2\rho }{ 10 } } \qquad \longrightarrow \qquad { \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) =\frac { 3{ \rho }^{ 3 } }{ 3\cdot 10 } -\frac { { 2\rho }^{ 2 } }{ 2\cdot 10 } =\frac { { \rho }^{ 3 }-{ \rho }^{ 2 } }{ 10 } +C[/math].

[math]{ \rho }^{ 2 }f\left( \rho \right) =\frac { { \rho }^{ 3 }-{ \rho }^{ 2 } }{ 10 }+C \qquad \longrightarrow \qquad f\left( \rho \right) =\frac { \rho -1 }{ 10 } +\frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } [/math].
[math]\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } +\frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math].
[math]\rho =1\longrightarrow \overrightarrow { u } =0\qquad \frac { C }{ { \rho }^{ 2 } } { \overrightarrow { g } }_{ { \theta } }=0\longrightarrow C=0[/math].
[math]\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math].

5 Ejercicio

Definimos [math]\epsilon (\overrightarrow { u } )=\frac { \nabla \overrightarrow { u } +{ \nabla }\overrightarrow { u } ^{ t } }{ 2 } [/math]. Recordamos que el vector [math]\overrightarrow { u } =\left( \frac { \rho -1 }{ 10 } \right) { \overrightarrow { g } }_{ \theta }[/math].
[math]\nabla \cdot \overrightarrow { F } =\frac { 1 }{ \sqrt { g } } \frac { \partial }{ { \partial x }^{ j } } (\sqrt { g } { F }^{ j })\qquad [/math][math]g={ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 1 } \right| }^{ 2 }{ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 2 } \right| }^{ 2 }{ \left| { \overrightarrow { g } }_{ 3 } \right| }^{ 2 }[/math].

Aplicado a nuestro campo tendríamos: [math]\nabla \overrightarrow { u } =\left( \begin{matrix} \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 1 } }{ \partial z } \\ \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 2 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial }\overrightarrow { u } _{ 2 } }{ \partial z } \\ \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \rho } \right| }^{ 2 } } \frac { \partial { \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial \rho } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ \theta } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial \theta } & \frac { 1 }{ { \left| { \overrightarrow { g } }_{ z } \right| }^{ 2 } } \frac { { \partial \overrightarrow { u } }_{ 3 } }{ \partial z } \end{matrix} \right) [/math].