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Revisión del 12:59 27 abr 2017

1 Introducción

El circuito eléctrico mas simple es aquel que contiene una bobina o inductor y una resistencia, además de una fuente de alimentación. El circuito eléctrico RL conecta en serie una bobina y una resistencia

En una resistencia R, la ley de Ohm establece i(t)=v(t)*R, donde i(t) es la intensidad de corriente (en amperios A), v(t) el voltaje (dado en voltios V) y R el coeficiente de resistencia (en Ohmios Ω). En un inductor L, la ley de Faraday establece v(t) = L*(di(t)/dt) donde L es el coeficiente de autoinducción (dado en Henrios H) También tenemos en cuenta las Leyes de Kirchhoff, que establecen el comportamiento de los circuitos:

Circuito RL

1. Ley de corrientes: En cada nodo, la suma de corrientes que entra es igual a la que sale.

2. Ley de tensiones: En cada ciclo cerrado o malla, la suma de diferencias de potencial es nula.

Para escribir la ecuación diferencial del circuito de la figura, estando dicho circuito cerrado, y con las ecuaciones conocidas y escritas en la introducción, aplicamos las siguientes fórmulas:

- La ecuación que define la tensión de la resistencia (R) es: V R(t) = i(t) * R

- La ecuación que define la inductancia (L) es: V L(t) = L* (di(t)/dt)

Aplicando la ley de Kirchhoff de voltaje, tenemos la tensión total del circuito: V(t) = VR(t) + VL(t) = R * i(t) + L * (di(t)/dt) Nombrando a la variable “i” como “y”, obtenemos finalmente la ecuación diferencial: Ly’ + Ry = V(t)

2 Cálculo analítico y representación gráfica

Suponiendo que en el instante t0 = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado calculamos analíticamente la intensidad en cada instante de tiempo t >0. Para ello suponemos los siguientes datos: el voltaje de la fuente de alimentación es constante E(t) = 20V , la inductancia es L = 0.2 y la resistencia R = 5Ω.Introducimos los datos en la ecuación diferencial previamente obtenida: Ly’+ Ry = V(t)y la resolvemos analíticamente 5y + 0.2y’ = 20.

Gráfico representacion Intensidad-Tiempo

3 Método de Euler

Aplicamos el Método de Euler mediante un problema de valor inicial (P.V.I) y comparamos los resultados con los obtenidos analíticamente:

Gráfico representación Intensidad-Tiempo aplicando el método numérico.

% Primer Paso: insertar los datos conocidos (condiciones iniciales).
t0=input('inserte tiempo inicial:'); %t[0,0.5]
tN=input('inserte tiempo final:');
y0=input('inserte valor inicial:'); %valor inicial=0

L=0.2;
R=5;
V=20;

% Segundo Paso: definir la función f (y'=f).
f=@(t,y)(V-R*y)/L;

% Tercer Paso: calcular 'N' y 'h' dependiendo de lo que den. Si dan la
% 'h', N=round((tN-t0)/h). Es decir, discretizamos.
h=0.01;
N=round((tN-t0)/h);

% Cuarto Paso: definir el vector de tiempos.
t=linspace(t0,tN,N+1);

% Quinto Paso: preparamos el vector 'y'(vector solución) de tamaño 't'.
y=zeros(size(t));
y(1)=y0;

% Sexto Paso: ahora aplicamos el esquema numérico del método que nos
% indiquen, en este caso, el método Euler. Por lo que creamos un bucle.
fori=1:N
y(i+1)=y(i)+h*f(t(i),y(i)); %Fórmula de Euler
end

plot(t,y,'r')
xlabel('Tiempo (s)')
ylabel('Intensidad (A)')
title('Euler')

[t',y']

La discretización elegida para que el método sea estable es muy pequeña, ya que, la función de la intensidad es exponencial, por lo que crece muy rápido respecto al tiempo. Por lo tanto, para que sea más precisa la discretización debe ser pequeña. En nuestro caso hemos elegido h=0.01