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1 Introducción

En este artículo vamos a centrar nuestro estudio en el desarrollo de modelos que nos permitan hacer una estimación del comportamiento temporal de una enfermedad infecciosa sin extensión espacial.

Suponemos las siguientes hipótesis:

1. La población es un número fijo N y cada miembro de la población es susceptible a la enfermedad. 


2. La duración de la enfermedad es larga, de manera que no se cura durante el periodo de estudio. 


3. Todos los individuos infectados son contagiosos y circulan libremente entre la población.

4. Durante cada unidad de tiempo cada persona infectada tiene c contactos y cada contacto con una persona no infectada redunda en la transmisión de la enfermedad.

2 Cálculo del número de contactos aproximados 'c'

Para realizar el cálculo del número de contactos ‘aproximados’ c que tiene una persona por unidad de tiempo emplearemos un método numérico basado en la siguiente ecuación logística:

donde:

I(t): Número de personas contagidas al cabo de un tiempo de t semanas.

c: Número de contactos que tiene una persona pasadas t semanas.

N: Población total en el lugar de estudio.

Además sabemos que los servicios de salud pública registran la difusión de una epidemia de gripe de duración particularmente larga en una ciudad de 500 000 personas. Al inicio de la primera semana de registro se habían contabilizado 200 casos; durante la primera semana aparecieron 300 nuevos casos.

Para obtener el número de contactos utilizaremos el siguiente método númerico, el cual está basado en el método de Euler.

clear, close all
%Datos del problema
y=[];
y0=200;
c=linspace(1/100,99/100,99);
N=500000; %Población total;
x=linspace(0,300,99);
n=length(c); %numero de puntos
c0=c(1); 
Y=N
%Esquema númérico
for i=1:n
    Yfinal=Y;
    Y=N*y0/(y0+(N-y0).*exp(-c(i))); % en t=1
    y=[y;Y]
    if abs(Y-500)<=abs(Yfinal-500)
        c0=c(i)
    end
end
min(abs(y-500)) %Error absoluto mínimo
plot(c,abs(y-500))

Al ejecutar el programa obtenemos el siguiente gráfico que representa la evolución del error que se produce para cada valor de c. Y se obtiene el valor de c que minimiza el error el cual es igual a 0,92.

3 Evolución de los Infectados por la Epidemia

Para determinar la evolución de los infectados por la epidemia conforme avanza el tiempo, emplearemos el método de Hern y el método de Runge Dutta de orden 4.

Método de Heun: