Diferencia entre revisiones de «Modelo predador-presa (Grupo 7)»
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==. Interpretación del modelo== | ==. Interpretación del modelo== | ||
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\frac{dx_{2}}{dt}=-B_{1}x_{2}+B_{2}x_{1}x_{2}-Dx_{2}x_{3}\\ \frac{dx_{3}}{dt}=-C_{1}x_{3}+C_{2}x_{1}x_{3}-Dx_{2}x_{3}\\x_{1}(0)=p_{0},x_{2}(0)=d_{0},x_{3}(0)=e_{0}\\t> 0 | \frac{dx_{2}}{dt}=-B_{1}x_{2}+B_{2}x_{1}x_{2}-Dx_{2}x_{3}\\ \frac{dx_{3}}{dt}=-C_{1}x_{3}+C_{2}x_{1}x_{3}-Dx_{2}x_{3}\\x_{1}(0)=p_{0},x_{2}(0)=d_{0},x_{3}(0)=e_{0}\\t> 0 | ||
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| + | A priori, se puede observar que en esta ocasión el modelo de Lotka-Volterra ha sido modificado, al haber añadido una tercera población que actuará como predador. Por tanto, el problema a estudiar presenta una única presa frente a dos predadores. | ||
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| + | Además, teniendo en cuenta las ecuaciones adjuntas y la hipótesis de que la cantidad de alimentos para la presa es siempre suficiente, se ha realizado la siguiente interpretación: | ||
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| + | X1: número de presas | ||
| + | X2: número de depredadores de la primera especie | ||
| + | X3: número de depredadores de la segunda especie | ||
| + | A1: constante de la que depende la tasa de natalidad de las presas | ||
| + | A2: constante de interacción entre las presas y el primer depredador | ||
| + | A3: constante de interacción entre las presas y el segundo depredador | ||
| + | B1: constante de la que depende la tasa de mortalidad de los depredadores de la primera especie | ||
| + | B2: constante de interacción entre el primer depredador y las presas | ||
| + | D: constante de interacción entre ambos depredadores | ||
| + | C1: constante de la que depende la tasa de mortalidad de los depredadores de la segunda especie | ||
| + | C2: constante de interacción entre el segundo depredador y las presas | ||
| + | p0: número inicial de presas | ||
| + | d0: número inicial de depredadores de la primera especie | ||
| + | e0: número inicial de depredadores de la primera especie | ||
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| + | Siendo todas las constantes positivas. | ||
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| + | La primera ecuación, representa la variación del número de presas a lo largo del tiempo, la cual depende del número de nacimientos menos el número de muertes. El número de nacimientos se rige por una tasa de natalidad que según la ley malthusiana depende a su vez de un coeficiente A1 y del número de presas existentes. Por otro lado, el número de muertes depende de las iteraciones entre cada uno de los depredadores y las presas, modelado con ayuda de los coeficientes A2 y A3. | ||
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| + | -La tasa de mortalidad: que queda reflejada según la constante B1 y el número de depredadores de la primera especie existentes. | ||
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| + | -La interacción con la presa: que queda reflejada según la constante B2 y el número tanto de depredadores de la primera especie como de presas. Se puede ver que a mayor número de presas, mayor crecimiento de la población de los depredadores. | ||
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| + | -La interacción con la otra especie depredadora: que varía según la constante D y el número de depredadores de cada una de las especies. Esto refleja que cuantos más depredadores existan de ambas especies, menor será el crecimiento de cada una de ellas, pero además se puede ver que cuanto mayor sea la diferencia entre el número de individuos de ambas especies depredadoras, menor será el número de muertes. | ||
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| + | Análogamente, la tercera ecuación obtiene la tasa de crecimiento para la segunda especie depredadora, modificando las constantes B1 por C1 y B2 por C2, pero manteniendo el factor de interacción entre especies. | ||
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==. Resolución del problema mediante el método de Euler modificado== | ==. Resolución del problema mediante el método de Euler modificado== | ||
===. Para t=[0,100] años=== | ===. Para t=[0,100] años=== | ||
Revisión del 09:09 30 abr 2016
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Modelo predador-presa (Grupo 7) |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2015-16 |
| Autores | Gómez Apiñániz, Adrián
Herranz Rodas, Ignacio Ragolta Villarroya, Ana Reinoso Muñoz, Cristina |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En esta página se discute un modelo matemático que trata de resolver la dinámica de poblaciones de especies competidoras, teniendo en cuenta el estudio realizado a principios del siglo pasado por Alfred J. Lotka y Vito Volterra, el cual consiste en modelizar la situación predador-presa con ayuda de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales, correspondientes a la variación de ambas poblaciones por unidad de tiempo.
1 . Interpretación del modelo
El problema de valor inicial a estudiar, es el adjunto:
[math] \left\{\begin{matrix} \frac{dx_{1}}{dt}=A_{1}x_{1}-A_{2}x_{1}x_{2}-A_{3}x_{1}x_{3}\\ \frac{dx_{2}}{dt}=-B_{1}x_{2}+B_{2}x_{1}x_{2}-Dx_{2}x_{3}\\ \frac{dx_{3}}{dt}=-C_{1}x_{3}+C_{2}x_{1}x_{3}-Dx_{2}x_{3}\\x_{1}(0)=p_{0},x_{2}(0)=d_{0},x_{3}(0)=e_{0}\\t\gt 0 \end{matrix}\right. [/math]
A priori, se puede observar que en esta ocasión el modelo de Lotka-Volterra ha sido modificado, al haber añadido una tercera población que actuará como predador. Por tanto, el problema a estudiar presenta una única presa frente a dos predadores.
Además, teniendo en cuenta las ecuaciones adjuntas y la hipótesis de que la cantidad de alimentos para la presa es siempre suficiente, se ha realizado la siguiente interpretación:
X1: número de presas X2: número de depredadores de la primera especie X3: número de depredadores de la segunda especie A1: constante de la que depende la tasa de natalidad de las presas A2: constante de interacción entre las presas y el primer depredador A3: constante de interacción entre las presas y el segundo depredador B1: constante de la que depende la tasa de mortalidad de los depredadores de la primera especie B2: constante de interacción entre el primer depredador y las presas D: constante de interacción entre ambos depredadores C1: constante de la que depende la tasa de mortalidad de los depredadores de la segunda especie C2: constante de interacción entre el segundo depredador y las presas p0: número inicial de presas d0: número inicial de depredadores de la primera especie e0: número inicial de depredadores de la primera especie
Siendo todas las constantes positivas.
La primera ecuación, representa la variación del número de presas a lo largo del tiempo, la cual depende del número de nacimientos menos el número de muertes. El número de nacimientos se rige por una tasa de natalidad que según la ley malthusiana depende a su vez de un coeficiente A1 y del número de presas existentes. Por otro lado, el número de muertes depende de las iteraciones entre cada uno de los depredadores y las presas, modelado con ayuda de los coeficientes A2 y A3.
La segunda ecuación, representa la variación del número de depredadores de la primera especie a lo largo del tiempo. Esta variación a su vez depende de tres factores:
-La tasa de mortalidad: que queda reflejada según la constante B1 y el número de depredadores de la primera especie existentes.
-La interacción con la presa: que queda reflejada según la constante B2 y el número tanto de depredadores de la primera especie como de presas. Se puede ver que a mayor número de presas, mayor crecimiento de la población de los depredadores.
-La interacción con la otra especie depredadora: que varía según la constante D y el número de depredadores de cada una de las especies. Esto refleja que cuantos más depredadores existan de ambas especies, menor será el crecimiento de cada una de ellas, pero además se puede ver que cuanto mayor sea la diferencia entre el número de individuos de ambas especies depredadoras, menor será el número de muertes.
Análogamente, la tercera ecuación obtiene la tasa de crecimiento para la segunda especie depredadora, modificando las constantes B1 por C1 y B2 por C2, pero manteniendo el factor de interacción entre especies.
