Revisión del 02:01 16 may 2015

1 Ecuación de Onda

Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la sección frente a la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t) 
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

2 Modelización por el método del trapecio

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta. Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t=[0,40].

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
                                    3x/10    ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= función a trozos =              
                                     3/2 – 3x/20  ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

3 Método de Euler expllicito y Heun

3.1 Euler

El código por el método de Euler explícito:

3.2 Heun

La resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicación de Heun es la siguiente:

4 Representación de la energía del cable

Para dibujar la energía del cable en una gráfica usamos la siguiente expresión

mediante el método de diferencias finitas

Al cambiar la amplitud del paso h a la mitad lo que se observa es mayor precisión en la representación de la recta pero solo visible la diferencia si se hace zoom en la gráfica. la cantidad de energía no varia de una longitud de paso a otra como era de esperar.

5 Cable sumergido en un medio viscoso

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamiento del medio. A continuación se dibujan las gráficas de la energía para a= 0,1,4,10,100

los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a

6 Energía del cable sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot) Hz. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

Se repite el experimento con Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

Las conclusiones que se pueden sacar de la representación del gráfico es que al aplicar una fuerza con una frecuencia cercana a 2pi la energía va aumentando ligeramente, es decir que la frecuencias no se parecen demasiado pero aun así esta fuerza se va "acumulando" poco a poco. En cambio con la frecuencia inversa a la longitud del cable hace aumentar la energía de forma mas drástica y casi exponencial. Puede estar relacionado con la frecuencia propia del cable.

7 Energía del cable sujeto a un aparato que envía una respuesta frente a la vibración

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t)

Para el valor b= 2 se muestra un cable estático y con poca energía salvo en los instantes finales que se dispara, en cambio para el valor b=-2 se muestra un cable con una energía que oscila sin ningún patrón aparente entre dos valores acotados.

7.1 Resolución por Fourier

por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
                                    3x/10    ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =              
                                     3/2 – 3x/20  ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0