Revisión del 20:15 14 may 2015

1 Ecuación de Onda

Se considera un cable de longitud L = 10m con sus extremos fijados. Se desprecia la longitud y se modelizan sus vibraciones mediante la ecuación de ondas.

Utt – Uxx = f(x,t)
U(0,t) = g(x,t) 
U(10,t) = h(x,t)
U(x,0) = i(x,t)
Ut(x,t) = j(x,t)

2 Modelización por el Método del trapecio

Se propone un escenario en el que se desplaza la sección del cable correspondiente a la distancia 10/3 en 1 metro perpendicularmente y se suelta. Lo resolveremos por el método de diferencias finitas usando el método del trapecio con ∆x = 0.1 y ∆t = ∆x en el intervalo de t de 0 a 40.

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
                                    3x/10    ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= función a trozos =              
                                     3/2 – 3x/20  ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0

3 Método de Euler expllicito y Heun

3.1 Euler

El codigo segun Euler explicito:

3.2 Heun

la resolución de la ecuación mediante el método de Heun varia en las formulas usadas para aproximar los términos y derivadas en los nodos. La formula de aplicada de Heun es esta:

4 Representación de la Energia del Cable

Para dibujar la energía del cable en una grafica usamos la siguiente expresión

mediante el método de diferencias finitas

5 Cable en Medio viscoso

Suponiendo que el cable esta sumergido en un medio viscoso que produce amortiguamiento. La ecuación varia a

Utt - Uxx + aUt = 0

Siendo a la constante de amortiguamientodel medio. A continuación se dibujan las graficas de la energia para a= 0,1,4,10,100

los resultados representados en el mismo gráfico con un color para cada valor de a

6 Cable sujeto a Estructura

Supongamos que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia sin(2πFot). Herzios. Suponiendo que Fo = 1/L+0.01 Hz, la energía cuando el cable parte inicialmente del reposo y tomamos un tiempo t ∈ [0, 60] segundos es:

Se repite el experimento con Fo = 1/L−0.01 Hz y F0 = 1/L Hz.

6.1

Suponiendo ahora que el extremo izquierdo del cable esta sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe de manera que la condición de contorno es ahora Ux(0, t) = bU(0, t). Tomando como condición inicial la misma que en el apartado 2 anterior, se calcula el comportamiento de la energía para b = 2, −2. Se utiliza la aproximación:

Ux(0,t) – bU(0,T) ∼ (u1(t) – U-1(t))/(2h)-Uo(t) 

6.2

por ultimo resolvemos por Fourier con 1,3,5,10 y 20 elementos el apartado 2

Utt – Uxx = f(x,t)=0
U(0,t) = g(x,t) =0
U(10,t) = h(x,t)=0
                                    3x/10    ∈ x<3
U(x,0) = i(x,t)= funcion a trozos =              
                                     3/2 – 3x/20  ∈ 3<x<10
Ut(x,t) = j(x,t)=0