Revisión del 10:32 14 may 2015

1 Introducción

El trabajo tiene como objetivo el estudio de la mezcla de dos sustancias, una de ellas contaminante, en un tubo largo.

Su planteamiento se realizará de forma similar al de la transmisión de calor a lo largo de una varilla, visto en clase.

Analizaremos el modelo que define nuestro problema (ecuación de difusión), varios puntos teóricos del mismo (la conservación de la masa contaminante, la solución estacionaria) y terminar por plantear un problema concreto el cual resolveremos mediante métodos numéricos, modificando según que condiciones para poder interpretar las distintas situaciones que pueden modelizar nuestro problema.

2 Ecuación de difusión

2.1 Deducción

Sea tubo largo de longitud L, orientado en la dirección x y cuya sección es constante desde x=0 hasta x=L. Supondremos el tubo aislado tanto superficialmente como lateralmente.

Configuración inicial de las concentraciones de contaminante en el tubo.

Sean dos sustancias contenidas en el tubo, una de ellas contaminante. Denotaremos por u(x,t) la concentración de contaminante, la cual dependerá únicamente de la posición del tubo y del tiempo, manteniéndose constante en cada sección transversal del tubo. Medido en mol/m2s.

Sea F(x,t) el flujo de contaminante (análogo al flujo de calor), definiéndose como la cantidad de contaminante que atraviesa una sección transversal por unidad de tiempo y area, dependiendo del número de moles, siendo éste último proporcional a la masa de la sustancia. Debido a los aislantes laterales y superficiales, el flujo sera a lo largo del eje x.

Debido al principio de conservación de la masa la variación de la concentración de contaminante en cada posición del tubo en función del tiempo, es igual a la suma del flujo de contaminante a través de los extremos del tubo por unidad de tiempo, más la concentración de contaminante generada en el interior por unidad de tiempo. Suponemos igual a 0 las perdidas y/o ganancias en el interior del tubo (problema homogéneo). La ley de Flick (similar a Furier) determina que el flujo de difusión del contaminante es proporcional a la variación de concentración: [math]F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}[/math]

siendo D el coeficiente de difusión (medido en m2/s), que dependerá de las propiedades químicas de los compuestos.

De esta forma y continuando con la semejanza a la transmisión de calor, la concentración de sustancia contaminante en un instante de tiempo t y en una sección transversal que dista x unidades del extremo izquierdo del tubo satisfará: [math]u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_{xx}(x,t)[/math]

Pasando todo al termino de la izquierda obtendremos la ecuación de difusión: [math]u_t(x,t)- D u_{xx}(x,t)= 0[/math]

dónde D es el coeficiente de difusión anteriormente citado.

Para ello hemos definido [math] A [/math] como la variable de superficie, tomando una sección pequeña del tubo, designada por [math]\Delta x[/math]: La variación de la concentración de contaminante en función del tiempo es:

[math] A u(x,t) \Delta x [/math]

Derivamos respecto del tiempo:

[math] A u_t(x,t) \Delta x [/math]

A continuación, se considera nula la concentración de contaminante generada en el interior por unidad de tiempo debido a la ausencia de sumideros.

Suponemos que Δx>0 y la concentración de contaminante en un tiempo t es menor en x+ Δx que en x, entonces u(x+ Δx) – u(x,t) < 0, y como Δx es pequeño, se tiene que ux(x,t)<0 y el flujo de difusión del contaminante es positivo y va hacia la derecha en la dirección del eje x.

El flujo de calor en un intervalo [math][x, x + ∆x ] [/math] viene dado dado por:

[math]F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A[/math]

Igualando los términos anteriores y dividiendo por [math]A \Delta x[/math] se obtiene:

[math]A u_t(x,t) \Delta x = F(x,t)A-F(x+\Delta x, t)A[/math]:

[math]u_t(x,t)= \frac {F(x,t)-F(x+\Delta x, t)}{\Delta x}[/math]

Haciendo que [math]\Delta x[/math] tienda a 0:

[math]u_t(x,t)= -F_x(x,t)[/math]

Y aplicando la ley de Fick:

[math]u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t) [/math]

Así se obtiene la ecuación de difusión de la sustancia contaminante a lo largo del tubo anteriormente citada:

[math]u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0 [/math]

2.2 Conservación de la masa contaminante

3 Problema Propuesto

3.1 Sistema de ecuaciones

Sea el problema:

[math] (P)\left\{\begin{matrix}\\u_t-u_{xx}=0 ,x\in\ (0,7), t\gt0\\u_x(0,t)=0, t\gt0\\u_x(5,t)=0, t\gt0\\u(x,0)=u_0, x\in\ (0,7)\end{matrix}\right. [/math]

Con condiciónes iniciales  :[math] u(x,0)=\left\{\begin{matrix}\\0, x≤5\\3, x\gt5\end{matrix}\right. [/math]

Pasamos a su interpretación física.

3.2 Modelización

3.3 Resolución

3.3.1 Método diferencias finitas

3.3.1.1 Trapecio

3.3.1.2 Euler explícito

3.3.1.3 Euler implícito

3.3.1.4 Heun

3.3.2 Método de Furier

3.4 Solución estacionaria

3.5 Variación de las condiciones de frontera

3.5.1 Condición limpiador

3.5.2 Condiciones tipo Newman