Diferencia entre revisiones de «Aproximación de problemas de control.Derivadas topológicas para la resolución problemas inversos: Resolución actividad propuesta»
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D_T(\vec{x}, R)=\dfrac{J(R\backslash B_\epsilon(\vec{x}))-J(R)}{f(\epsilon)} | D_T(\vec{x}, R)=\dfrac{J(R\backslash B_\epsilon(\vec{x}))-J(R)}{f(\epsilon)} | ||
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Revisión del 20:49 16 mar 2015
1 Introducción
1.1 General
Un problema inverso es aquel en el que a partir de ciertas mediciones o valores observados se debe deducir alguno o varios de los parámetros del sistema.
En este ejercicio, vamos a hacer énfasis en aquel problema inverso en el cual el parámetro que se pretende estimar son los defectos de un medio. Concretamente, se trataría de un problema de dispersión, en el cual se hace incidir una onda [math]u_{inc}[/math] en el seno de un medio [math]R[/math] contra unos defectos [math]\Omega[/math]. Dado que las propiedades del medio difieren en el defecto, el dominio [math]\Omega[/math] puede ser estimado.
El objetivo en este problema inverso concreto, es, a partir de las mediciones [math]u_{meas}[/math] tomados en una serie de receptores [math]\Gamma[/math] encontrar los objetos [math]\Omega[/math] tales que la diferencia [math]|u-u_{meas}|[/math] sea mínima.
Se debe subrayar que a pesar de su enorme interés, se trata de un problema mal planteado que puede no tener solución, y si la tiene puede no depender continuamente de los datos.
Este problema tiene numerosas aplicaciones, entre las que destacan aquellas en campos de tanto interés como puedan ser la medicina, la geología o el análisis de estructuras.
1.2 Problema modelo
Supongamos que estamos tratando con ondas acústicas. Tenemos
[math]\rho U_{tt} = k \Delta U,[/math]
donde [math] k [/math] es la constantes elásticas en problemas de dispersión acústica. La onda incidente es armónica en el tiempo
[math]U_{inc}(\vec{x}, t) = Re\left[e^{−i \omega t} u_{inc}(\vec{x})\right],[/math]
y [math]u_{inc}[/math] es una onda plana que se propaga en la dirección [math]\vec{d}[/math], tal que
[math]u_{inc}(\vec{x})= e^{i k \vec{x} \cdot \vec{d}}[/math]
La solución del problema directo es también armónica en el tiempo por lo que
[math]U(\vec{x}, t) = Re\left[e^{−i \omega t} u(\vec{x})\right],[/math]
La onda incidente genera una la parte dispersada en [math]R \backslash \Omega[/math] y en una parte trasmitida en [math]\Omega[/math]
[math]u=u_{inc}+u_{sc} \text{ en } R\backslash\Omega[/math]
y
[math]u=u_{trans} \text{ en } \Omega.[/math]
Se tiene que $u$ es la solución del problema,
[math] \Delta u + k_e u = 0 \text{ en } R \backslash \Omega, [/math]
[math] \Delta u + k_i u = 0 \text{ en } \Omega, [/math]
[math] u^+ = u^-\text{ en } \partial\Omega,[/math]
[math] \partial_n u^+ = \partial_n u^- \text{ en } \partial\Omega,[/math]
donde [math]k_e[/math] y [math]k_i[/math] corresponden al medio y a los defectos respectivamente.
1.3 Derivadas topológicas
La variable que pretendemos encontrar, [math]\Omega[/math], puede ser hallada minimizando un funcional del error [math] J=\int_\Gamma |u-u_{meas}|^2.[/math] La minimización puede ser realizada utilizando el método de las Derivadas topológicas.
La Derivada topológicas se define como, [math] D_T(\vec{x}, R)=\dfrac{J(R\backslash B_\epsilon(\vec{x}))-J(R)}{f(\epsilon)} [/math] donde [math]B_\epsilon(\vec{x})[/math] es la bola de centro [math]\vec{x}[/math] y radio [math]\epsilon[/math] y [math]f(\epsilon)[/math] es una función positiva monótona decreciente cuyo
límite existe y es no nulo y que además tiende a 0 cuando [math]\epsilon[/math] también tiende a cero. Ciertamente, la Derivada topológica es una función lineal de [math]\vec{x}[/math] fácil de interpretar como la variación del funcional [math]J[/math] cuando se retira un volumen infinitesimal centrado [math]\vec{x}[/math] y de radio [math]\epsilon[/math]. Escrito en forma de desarrollo,
[math] J(R\backslash B_\epsilon(\vec{x}))=J(R)+D_T(\vec{x}, R)f(\epsilon)+\ldots [/math] que permite entender mas claramente que en el caso en el que [math]D_T(\vec{x}, R)\lt0 [/math] la probabilidad de que exista un defecto localizado en [math]\vec{x}[/math] es elevada.
