Diferencia entre revisiones de «Logística con Umbral (15-A)»

Revisión del 23:44 8 mar 2015

1 Introducción

El Problema de Valor Inicial (P.V.I.) de Logística con Umbral viene definido por la siguiente ecuación::

[math]\left\{\begin{matrix}y’=-ry(1-{y\over M_1})(1-{y\over M_2}),\ \ \ \ \ t\gt0\ltbr/\gt\\y=y_0\end{matrix}\right.[/math]

Donde \(M_1=30\), \(M_2=100\), \(r=0.04\) e \(y_0=60\). La resolución numérica a estudiar está definida en el intervalo \(I=[0,100]\).

2 Resolución numérica

A continuación, se va a proceder a modelizar la solución de dicha ecuación mediante los métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta de orden 4. El procedimiento por el que se ha optado ha consistido en introducir en MATLAB cada uno de los métodos con los diferentes pasos, a saber, el caso 1 con un paso de \(h=1\), el caso 2 con \(h=0.1\) y el caso 3 con \(h=0.01\) y, finalmente, obtener las gráficas asociadas.

2.1 Euler

En primer lugar, se indica el método de Euler, con el código de MATLAB correspondiente y dos gráficas, una con todo el desarrollo en el intervalo y otra en la que se aprecia en detalle la exactitud de cada uno de los pasos, comparados entre sí.

%MÉTODO DE EULER
hold on
%Datos conocidos e intervalo de estudio
t0=0; tN=100; r=0.04; M1=30; M2=100; y0=60;
%-------------------------------------------------------
%CASO 1: paso de h=1
h1=1;
N1=(tN-t0)/h1;
t1=t0:h1:tN;
y1=zeros(1,N1+1);
y1(1)=y0;
for n=1:N1
  y1(n+1)=y1(n)+h1*(-r*y1(n)*(1-y1(n)/M1)*(1-y1(n)/M2));
end
%-------------------------------------------------------
%CASO 2: paso de h=0.1
h2=0.1;
N2=(tN-t0)/h2;
t2=t0:h2:tN;
y2=zeros(1,N2+1);
y2(1)=y0;
for n=1:N2
  y2(n+1)=y2(n)+h2*(-r*y2(n)*(1-y2(n)/M1)*(1-y2(n)/M2));
end
%------------------------------------------------------
%CASO 3: PASO DE h=0.01
h3=0.01;
N3=(tN-t0)/h3;
t3=t0:h3:tN;
y3=zeros(1,N3+1);
y3(1)=y0;
for n=1:N3
  y3(n+1)=y3(n)+h3*-r*y3(n)*(1-y3(n)/M1)*(1-y3(n)/M2);
end
%-----------------------------------------------------
%Representación en gráficas.
plot(t1,y1,'r') %Caso 1
plot(t2,y2,'g') %Caso 2
plot(t3,y3,'b') %Caso 3
title('Método de Euler con todos los casos')
xlabel('Tiempo')
ylabel('Evolución de la y')
legend('Caso 1 Euler','Caso 2 Euler','Caso 3 Euler','Location','best')
hold off

2.2 Heun

Posteriormente, se introduce el método de Heun, con el que se adjunta el código de MATLAB y las gráficas con los 3 casos correspondientes.

%MÉTODO DE HEUN
hold on
%Datos conocidos e intervalo de estudio
t0=0; tN=100; r=0.04; M1=30; M2=100; y0=60;
%--------------------------------------------------------------
%CASO 1: paso de h=1
h1=1;
N1=(tN-t0)/h1;
t1=t0:h1:tN;
y1=zeros(1,N1+1);
y1(1)=y0;
for n=1:N1
  k1=-r*y1(n)*(1-y1(n)/M1)*(1-y1(n)/M2);
  k2=-r*(y1(n)+k1*h1)*(1-(y1(n)+k1*h1)/M1)*(1-(y1(n)+k1*h1)/M2);
  y1(n+1)=y1(n)+h1/2*(k1+k2);
end
%---------------------------------------------------------------
%CASO 2: PASO DE h=0.1
h2=0.1;
N2=(tN-t0)/h2;
t2=t0:h2:tN;
y2=zeros(1,N2+1);
y2(1)=y0;
for n=1:N2
  k1=-r*y2(n)*(1-y2(n)/M1)*(1-y2(n)/M2);
  k2=-r*(y2(n)+k1*h2)*(1-(y2(n)+k1*h2)/M1)*(1-(y2(n)+k1*h2)/M2);
  y2(n+1)=y2(n)+h2/2*(k1+k2);
end
%---------------------------------------------------------------
%CASO 3: PASO DE h=0.01
h3=0.01;
N3=(tN-t0)/h3;
t3=t0:h3:tN;
y3=zeros(1,N3+1);
y3(1)=y0;
for n=1:N3
  k1=-r*y3(n)*(1-y3(n)/M1)*(1-y3(n)/M2);
  k2=-r*(y3(n)+k1*h3)*(1-(y3(n)+k1*h3)/M1)*(1-(y3(n)+k1*h3)/M2);
  y3(n+1)=y3(n)+h3/2*(k1+k2);
end
%---------------------------------------------------------------
%Representación en gráficas.
plot(t1,y1,'r') %Caso 1
plot(t2,y2,'g') %Caso 2
plot(t3,y3,'b') %Caso 3
title('Método de Heun con todos los casos')
xlabel('Tiempo')
ylabel('Evolución de la y')
legend('Caso 1 Heun','Caso 2 Heun','Caso 3 Heun','Location','best')
hold off

2.3 Runge-Kutta de orden 4

Por último, se representa el método de Runge-Kutta de orden 4 mediante otras dos gráficas con el mismo procedimiento y el código de MATLAB correspondiente.

%MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE ORDEN 4
hold on
%Datos conocidos e intervalo de estudio
t0=0; tN=100; r=0.04; M1=30; M2=100; y0=60;
%--------------------------------------------------------------------------
%CASO 1: paso de h=1
h1=1;
N1=(tN-t0)/h1;
t1=t0:h1:tN;
y1=zeros(1,N1+1);
y1(1)=y0;
for n=1:N1
  k1=-r*y1(n)*(1-y1(n)/M1)*(1-y1(n)/M2);
  k2=-r*(y1(n)+1/2*k1*h1)*(1-(y1(n)+1/2*k1*h1)/M1)*(1-(y1(n)+1/2*k1*h1)/M2);
  k3=-r*(y1(n)+1/2*k2*h1)*(1-(y1(n)+1/2*k2*h1)/M1)*(1-(y1(n)+1/2*k2*h1)/M2);
  k4=-r*(y1(n)+k3*h1)*(1-(y1(n)+k3*h1)/M1)*(1-(y1(n)+k3*h1)/M2);
  y1(n+1)=y1(n)+h1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
end
%--------------------------------------------------------------------------
%CASO 2: paso de h=0.1
h2=0.1;
N2=(tN-t0)/h2;
t2=t0:h2:tN;
y2=zeros(1,N2+1);
y2(1)=y0;
for n=1:N2
  k1=-r*y2(n)*(1-y2(n)/M1)*(1-y2(n)/M2);
  k2=-r*(y2(n)+1/2*k1*h2)*(1-(y2(n)+1/2*k1*h2)/M1)*(1-(y2(n)+1/2*k1*h2)/M2);
  k3=-r*(y2(n)+1/2*k2*h2)*(1-(y2(n)+1/2*k2*h2)/M1)*(1-(y2(n)+1/2*k2*h2)/M2);
  k4=-r*(y2(n)+k3*h2)*(1-(y2(n)+k3*h2)/M1)*(1-(y2(n)+k3*h2)/M2);
  y2(n+1)=y2(n)+h2/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
end
%--------------------------------------------------------------------------
%CASO 3: paso de h=0.01
h3=0.01;
N3=(tN-t0)/h3;
t3=t0:h3:tN;
y3=zeros(1,N3+1);
y3(1)=y0;
for n=1:N3
  k1=-r*y3(n)*(1-y3(n)/M1)*(1-y3(n)/M2);
  k2=-r*(y3(n)+1/2*k1*h3)*(1-(y3(n)+1/2*k1*h3)/M1)*(1-(y3(n)+1/2*k1*h3)/M2);
  k3=-r*(y3(n)+1/2*k2*h3)*(1-(y3(n)+1/2*k2*h3)/M1)*(1-(y3(n)+1/2*k2*h3)/M2);
  k4=-r*(y3(n)+k3*h3)*(1-(y3(n)+k3*h3)/M1)*(1-(y3(n)+k3*h3)/M2);
  y3(n+1)=y3(n)+h3/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
end
%--------------------------------------------------------------------------
%Representación en gráficas
plot(t1,y1,'r') %Caso 1
plot(t2,y2,'g') %Caso 2
plot(t3,y3,'b') %Caso 3
title('Método de Runge-Kutta con todos los casos')
xlabel('Tiempo')
ylabel('Evolución de la y')
legend('Caso 1 RK4','Caso 2 RK4','Caso 3 RK4','Location','best')
hold off

2.4 Interpretaciones

De todas las gráficas representadas anteriormente, se puede apreciar que aquellas que corresponden a un paso de \(h=1\) (el caso 1, considerado como un paso demasiado amplio), se alejan de la solución exacta, a diferencia de lo que sucede con pasos menores (casos 2 (\(h=0.1\)) y 3 (\(h=0.01\))). A su vez, la solución más cercana a la exacta es la obtenida mediante el método de Runge-Kutta de orden 4.

2.5 Dinámica de poblaciones

Desde un punto de vista de la dinámica de poblaciones, dado que se trata de un método logístico, se puede apreciar que la población no crece indefinidamente, sino que llega a un punto en el que el ecosistema no admite más individuos de la especie en cuestión, y ésta se estabiliza en un determinado valor.

3 Método de Heun para diferentes poblaciones iniciales

De nuevo, se procede a resolver numéricamente la ecuación inicial aportada en el enunciado. Esta vez, las poblaciones iniciales de cada especie son \(y_0=120\) e \(y_0=20\). El resto de constantes se mantienen como anteriormente.

%MÉTODO DE HEUN CON DISTINTOS VALORES INICIALES
clf; clear;
%Datos Iniciales
t0=0; tN=100; r=0.04; M1=30; M2=100; 
y0=120; z0=20; 
%Paso e intervalo de estudio
h=0.1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
%------------------------------------------------------------
%Heun con valor inicial y0=120.
y1=zeros(1,N+1);
y1(1)=y0;
for n=1:N
  k1=-r*y1(n)*(1-y1(n)/M1)*(1-y1(n)/M2);
  k2=-r*(y1(n)+k1*h)*(1-(y1(n)+k1*h)/M1)*(1-(y1(n)+k1*h)/M2);
  y1(n+1)=y1(n)+h/2*(k1+k2);
end
%------------------------------------------------------------
%Heun con valor incial z0=20
z1=zeros(1,N+1);
z1(1)=z0;
for n=1:N
  K1=-r*z1(n)*(1-z1(n)/M1)*(1-z1(n)/M2);
  K2=-r*(z1(n)+K1*h)*(1-(z1(n)+K1*h)/M1)*(1-(z1(n)+k1*h)/M2);
  z1(n+1)=z1(n)+h/2*(K1+K2);
end
%------------------------------------------------------------
%Comparación de gráficas
hold on
plot(t,y1,'r')
plot(t,z1,'g')
title('Comparativa del método de Heun')
xlabel('Tiempo')
ylabel('Evolución de la población')
legend('Heun 120','Heun 20','Location','best')
hold off

3.1 Interpretación

Según lo que se puede apreciar en la gráfica, las poblaciones siempre tenderán a disminuir hasta estabilizarse en un valor determinado. Sin embargo, existen ciertas diferencias entre ambas que hacen que se comporten de maneras diferentes. Por un lado, en la población correspondiente a una población inicial de \(y_0=120\) individuos, la estabilización hacia el mencionado valor determinado (en este caso, \(y=100\)) se produce con una rapidez mayor a la de la población inicial de \(20\) individuos, necesitando mucho menos tiempo. Por otra parte, mientras que la población mayor se mantiene en un valor ligeramente inferior al inicial, la población menor tiende a extinguirse llegando a no tener ningún individuo pasado un tiempo.

4 Modelos de competencia

De ahora en adelante, se tendrá en cuenta que hay dos especies diferentes que ocupan un mismo ecosistema como competidores en el uso de los mismos recursos. Se ha designado \(x(t)\) e \(y(t)\) como la cantidad de individuos de cada especie cuando ha pasado un tiempo \(t\).

La razón de crecimiento de cada especie disminuye proporcionalmente a la cantidad de interacciones entre las especies, con tasas que determinan que cada población crece de forma logística (población acotada). Este proceso se ve sintetizado mediante un modelo no lineal, conocido como modelo de competencia, que responde al siguiente sistema de ecuaciones::

[math]\left\{\begin{matrix}x’=a_1x-b_1x^2-c_1xy,\\y’=a_2x-b_2x^2-c_2xy\end{matrix}\right.[/math]

Donde los coeficientes \(a_1\) y \(a_2\) determinan la razón de crecimiento de cada especie, \(b_1\) y \(b_2\) acotan dicho crecimiento y, en último lugar, \(c_1\) y \(c_2\) responden al tipo de interacción o situación que existe entre las dos especies.

A continuación, se detallan los códigos de MATLAB empleados para representar el comportamiento de las especies en cada una de las situaciones. En las imágenes adjuntas, se pueden apreciar las representaciones correspondientes al uso del método de Heun y de Euler, para la primera parte, con una frecuencia de paso de \(h=0.1\) (que evita sobrecargas en el proceso de cálculo sin ser mucho más preciso \(h=0.001\)). En la parte comparativa, sólo se adjunta la gráfica del método de Heun (por ser más preciso que el de Euler).

%SISTEMA NO LINEAL POR EL MÉTODO DE EULER
%x'=a1*x-b1*x^2-c1*x*y
%y'=a2*y-b2*y^2-c2*x*y
clear all; clf
%Introducción de los coeficientes, instante final y pasos de los diferentes casos
a1=input('a1: '); a2=input('a2: ');
b1=input('b1: '); b2=input('b2: ');
c1=input('c1: '); c2=input('c2: ');
h=input('Paso: ');
tN=input('Limite final: ');
%Números de subintervalos
t0=0; 
N=round((tN-t0)/h);
t=[t0:h:tN];
x=zeros(1,N+1);
y=zeros(1,N+1);
%Valores iniciales
x0=2; y0=7;
x(1)=x0;
y(1)=y0;
%Bucle planteado con el método de Euler
for i=1:N
  x(i+1)=x(i)+h*(a1*x(i)-b1*(x(i))^2-c1*x(i).*y(i));
  y(i+1)=y(i)+h*(a2*y(i)-b2*(y(i))^2-c2*x(i).*y(i));
end
%Para conocer los valores máximos y mínimos de las funciones
[Mx, pMx]=max(x); [My, pMy]=max(y);
[mx, pmy]=min(x); [mx, pmy]=min(y);
%Representación de las gráficas de ambas poblaciones
hold on
plot(t,x)
plot(t,y, 'r')
legend('Animal 1', 'Animal 2', 'Location' , 'best')
xlabel('Tiempo');
ylabel('Población');
title('Euler')
hold off

%SISTEMA NO LINEAL POR EL MÉTODO DE HEUN
% x'=a1*x-b1*x^2-c1*x*y
% y'=a2*y-b2*y^2-c2*x*y
clear all; clf
%Introducción de los coeficientes, instante final y pasos de los diferentes casos
a1=input('a1: '); a2=input('a2: '); 
b1=input('b1: '); b2=input('b2: ');
c1=input('c1: '); c2=input('c2: ');
h=input('Paso: ');
tN=input('Limite final: ');
%Números de subintervalos
t0=0;
N=round((tN-t0)/h);
t=[t0:h:tN];
x=zeros(1,N+1);
y=zeros(1,N+1);
%Valores iniciales
x0=2; y0=7;
x(1)=x0;
y(1)=y0;
%Bucle planteado con el método de Heun
for i=1:N
  k1x=a1*x(i)-b1*x(i)^2-c1*x(i)*y(i);
  k1y=a2*y(i)-b2*y(i)^2-c2*x(i)*y(i);
  k2x=a1*(x(i)+k1x*h)-b1*(x(i)+k1x*h)^2-c1*(x(i)+k1x*h)*y(i);
  k2y=a2*(y(i)+k1y*h)-b2*(y(i)+k1y*h)^2-c2*x(i)*(y(i)+k1y*h);
  x(i+1)=x(i)+h/2*(k1x+k2x);
  y(i+1)=y(i)+h/2*(k1y+k2y);
end
%Para conocer los valores máximos y mínimos de las funciones
[Mx, pMx]=max(x); [My, pMy]=max(y);
[mx, pmx]=min(x); [mx, pmy]=min(y);
%Representación de las gráficas de ambas poblaciones
hold on
plot(t,x)
plot(t, y,'r')
legend('Animal 1', 'Animal 2', 'Location', 'best')
xlabel('Tiempo');
ylabel('Población');
title('Heun')
hold off

4.1 Situaciones posibles

En función de los valores de \(c_1\) y \(c_2\), se pueden presentar diferentes situaciones dentro del mencionado modelo de competencia.

4.1.1 Parasitismo

En este caso, los datos son los siguientes \(a_1=−0.3\), \(a_2=1.15\), \(b_1=0\), \(b_2=0\), \(c_1=−0.08\), \(c_2=0.09\), \(x(0)=2\), \(y(0)=7\) y \(t∈[0,15]\). Es decir, \(c_1\) es negativo (aumentando la población del animal 1) y \(c_2\) es positivo (lo cual disminuye la población del animal 2).

Se puede ver que los coeficientes no se corresponden con la realidad puesto que el animal 1 renace, pero se trataría de parasitismo. El mayor inconveniente del método de Euler es que es menos aproximado que cualquiera de los otros métodos. Existe un máximo de \(y=50.773\) del animal 1 en \(t=3.1\) y un máximo de \(y=28.612\) del animal 2 en \(t=2\). El crecimiento del animal 1 se ve afectado positivamente por el crecimiento del animal 2, a la vez que el crecimiento del animal 2 se ve afectado negativamente por el crecimiento del animal 1. Se trata de un ecosistema no estable ya que el animal 2 desaparece y se puede apreciar que el animal 1 tiende a hacer lo mismo.

4.1.2 Neutralismo

En este caso, los datos son los siguientes \(a_1=0.16\), \(a_2=0.25\), \(b_1=0.04\), \(b_2=0.1\), \(c_1=0\), \(c_2=0\), \(x(0)=2\), \(y(0)=7\) y \(t∈[0,40]\). Es decir, \(c_1\) es 0 (la población del animal 1 ni aumenta ni disminuye) y \(c_2\) también (ídem).

Puesto que \(c_1\) y \(c_2\) son \(0\), no existen interacciones entre ambas poblaciones. Se trata, pues de neutralismo, porque se elimina el término que relaciona las dos especies, el que provoca que ambas interactúen (quedando ecuaciones diferenciales de primer grado independientes). No existen máximos y mínimos, salvo en los extremos del intervalo de estudio (teorema de Weierstraß). No tiende a desaparecer ninguna especie, mientras que sí que tienden a ser estables, por tanto se puede afirmar que el crecimiento de cada una de ellas no afecta a la otra. El ecosistema es estable ya que las dos especies tienden a un número determinado.

4.1.3 Simbiosis o cooperación

En este caso, los datos son los siguientes \(a_1=0.16\), \(a_2=0.25\), \(b_1=0.04\), \(b_2=0.1\), \(c_1=−0.015\), \(c_2=-0.02\), \(x(0)=2\), \(y(0)=7\) y \(t∈[0,20]\). Es decir, \(c_1\) es negativo (aumentando la población del animal 1) y \(c_2\) también (es decir, también aumenta la población del animal 2).

Se puede afirmar que se trata de una simbiosis ya que ambas especies empiezan a crecer al final del dominio de tiempo dado. Hay un mínimo de \(y=3.366\) del animal 2 en \(t=9\). Además, no tiende a desaparecer ninguna especie. Se afectan positivamente porque los coeficientes son negativos. Además, en la gráfica se ve que las dos especies crecen al final del intervalo, es decir, si se estableciera un intervalo mayor, se vería que las gráficas tienden a un determinado valor. Se confirma que es un ecosistema estable.

4.1.4 Competición

En este caso, los datos son los siguientes \(a_1=1\), \(a_2=1\), \(b_1=0.04\), \(b_2=0.1\), \(c_1=0.015\), \(c_2=0.02\), \(x(0)=2\), \(y(0)=7\) y \(t∈[0,20]\). Es decir, \(c_1\) es positivo (haciendo disminuir la población del animal 1) y \(c_2\) también (dicho de otra manera, también disminuye la población del animal 2).

Es el modelo que corresponde a una competición, pues se ha visto que en una gráfica en la que no hay interacción, ambas poblaciones crecían más que en la gráfica correspondiente a la competición. Gráficamente, tomando solo como referencia la gráfica de competición, tiene aspecto de amensalismo, ya que el animal 1 perjudica el crecimiento del animal 2 sin verse afectado. El animal 2 tiene un máximo de \(t=8.576\) en \(t=1.9\). Las especies se afectan negativamente entre sí, pero tienden a estabilizarse entorno a un número, por lo que se trata de un ecosistema estable.

4.1.5 Amensalismo

En este caso, los datos son los siguientes \(a_1=1\), \(a_2=1\), \(b_1=0.04\), \(b_2=0.1\), \(c_1=0\), \(c_2=0.2\), \(x(0)=2\), \(y(0)=7\) y \(t∈[0,10]\). Es decir, \(c_1\) es \(0\) (la población del animal 1 ni aumenta ni disminuye) y \(c_2\) es positivo (esto es, disminuye la población del animal 2).

Se trata del caso de amensalismo, puesto que el animal 1 crece sin verse afectado por el animal 2, mientras que el animal 2 se ve afectado negativamente (llegando a extinguirse) por el animal 1, que tiende a estabilizarse en \(y=25\). No obstante, se trata de un ecosistema estable (aunque una de las poblaciones converja en \(0\)).

4.1.6 Comensalismo

En este caso, los datos son los siguientes \(a_1=1\), \(a_2=1\), \(b_1=0.04\), \(b_2=0.1\), \(c_1=0\), \(c_2=-0.2\), \(x(0)=2\), \(y(0)=7\) y \(t∈[0,10]\). Es decir, \(c_1\) es \(0\) (la población del animal 1 ni aumenta ni disminuye) y \(c_2\) es negativo (es decir, aumenta la población del animal 2).

Se trata de una situación de comensalismo, debido a que el crecimiento del animal 1 no se ve afectado, mientras que el animal 2 se beneficia a costa de la otra especie, sin perjudicarlo ni beneficiarlo. Ambas especies tienden a estabilizarse, por lo que se trata de un ecosistema estable.

4.2 Comparación de especies

Ahora, se procede a realizar el estudio comparativo del comportamiento de ambas poblaciones según las situaciones anteriormente expuestas. Para ello, se hace uso del siguiente código de MATLAB:

%SISTEMA NO LINEAL POR EL MÉTODO DE HEUN
% x'=a1*x-b1*x^2-c1*x*y
% y'=a2*y-b2*y^2-c2*x*y
clear all; clf
%Introducción de los coeficientes, instante final y pasos de los diferentes casos
a1=input('a1: '); a2=input('a2: '); 
b1=input('b1: '); b2=input('b2: ');
c1=input('c1: '); c2=input('c2: ');
h=input('Paso: ');
tN=input('Limite final: ');
%Números de subintervalos
t0=0;
N=round((tN-t0)/h);
t=[t0:h:tN];
x=zeros(1,N+1);
y=zeros(1,N+1);
%Valores iniciales
x0=2; y0=7;
x(1)=x0;
y(1)=y0;
%Bucle planteado con el método de Heun
for i=1:N
  k1x=a1*x(i)-b1*x(i)^2-c1*x(i)*y(i);
  k1y=a2*y(i)-b2*y(i)^2-c2*x(i)*y(i);
  k2x=a1*(x(i)+k1x*h)-b1*(x(i)+k1x*h)^2-c1*(x(i)+k1x*h)*y(i);
  k2y=a2*(y(i)+k1y*h)-b2*(y(i)+k1y*h)^2-c2*x(i)*(y(i)+k1y*h);
  x(i+1)=x(i)+h/2*(k1x+k2x);
  y(i+1)=y(i)+h/2*(k1y+k2y);
end
%Para conocer los valores máximos y mísimos de las funciones
[Mx, pMx]=max(x); [My, pMy]=max(y);
[mx, pmx]=min(x); [mx, pmy]=min(y);
%Representación de las gráficas de ambas poblaciones
subplot(1,2,1)
hold on
plot(t,x)
plot(t, y,'r')
xlabel('Tiempo');
ylabel('Animales');
legend('Animal 1', 'Animal 2', 'Location', 'best')
title('Heun')
subplot(1,2,2)
plot(x,y,'k')
xlabel('Animal 1');
ylabel('Animal 2');
title('Comparación de especies')
hold off

4.2.1 Parasitismo

En el momento en que el animal 2 aumenta su población, el animal 1 comienza a aumentar su población a costa de aquél, por lo que se trata de un parasitismo. Cuando el animal 2 está casi extinto, el animal 1 empieza también a desaparecer.

4.2.2 Neutralismo

Aunque pueda parecer un amensalismo (una especie aumenta mientras que la otra desciende), se trata de un neutralismo ya que ninguna de las dos especies tiende a desaparecer.

4.2.3 Simbiosis o cooperación

Se trata de una simbiosis, ya que en la parte final de la gráfica ambas especies tienden a crecer.

4.2.4 Competición

A primera vista, podría confundirse con una situación de parasitismo. No obstante, si fuera así, al verse reducido el número de individuos de la especie animal 2, el animal 1 (supuesto parásito) tendería a disminuir también su población al quedarse sin huésped. De ahí, deducimos que no es un caso de parasitismo, porque al verse disminuida la especie 2, la especie 1 no tiende a disminuir su población, sino que ambas se estabilizan. Es decir, se tratar de un caso de competición, porque el crecimiento de ambas especies llega a un máximo, a partir del cual el animal 1 sigue en tendencia positiva de crecimiento, mientras que el animal 2 decrece.

4.2.5 Amensalismo

En este caso, se puede apreciar que se trata de un amensalismo, ya que la especie animal 2 se ve reducida a medida que aumenta el número de individuos de la especie animal 1. A modo de observación, en la gráfica se ve que cuantos más individuos de la especie animal 1 hay, más rápido decrece la población del animal 2 y, además, cuantos menos individuos hay de la especie animal 2, más despacio decrece ésta.

4.2.6 Comensalismo

Se puede ver que una de las especies ve incrementada su población en proporción al número de individuos de la segunda especie, mientras ésta no se ve afectada por la primera.