Diferencia entre revisiones de «Desintegración Radiactiva 11-A»

Revisión del 00:21 7 mar 2015

1 Introducción

El trabajo propuesto nos plantea el cálculo de la desintegración de un material radiactivo a lo largo del tiempo, sabiendo que estos materiales se van desintegrando proporcionalmente a la cantidad restante. Por lo que analíticamente, un material radiactivo se desintegra en función de la siguiente ecuación diferencial:

[math]M'(t) = −k·M(t)[/math]

2 Interpretación de M(t) y K

M(t) es la cantidad de material radiactivo restante respecto del tiempo y K es una constante de desintegración que variará dependiendo del material. Por lo que cuanto mas alta sea la constante de desintegración, mas alto será el valor absoluto de la velocidad, es decir, el material se desintegrará en menos tiempo.

3 Planteamiento del Problema de Valor Inicial (P.V.I)

Tomando M₀ como la cantidad inicial y se plantea el siguiente problema de valor inicial:

[math] P.V.I. \left\{\begin{matrix}\ M(t_{0}) = −kM(t)\\ M(t_{0})=M_{0}\end{matrix}\right. \Longrightarrow M'(t)=\frac{\operatorname dM(t)}{\operatorname dt}= -K·M(t) \Longrightarrow \frac{1}{M(t)}·\operatorname dM(t)= -k·\operatorname dt [/math]

Integrando e imponiendo la condición inicial se obtiene la siguiente solución:

[math]M(t)=M_{0}·e^{-kt}[/math]

Como se puede observar, cuando el tiempo es cero aun quedará todo el material inicial y según transcurra el tiempo la cantidad de materia ira decreciendo exponencialmente.

4 Interpretación y Resolución Numérica

El trabajo propuesto nos plantea concretamente el caso del [math]C^{14}[/math], informándonos que este tiene una constante de desistegración [math]K=1,24·10^{-4}[/math] y unos los huesos encontrados por un arqueólogo contienen un 8% de [math]C^{14}[/math].

4.1 Resolución por el método de Euler

La cantidad inicial del material es indiferente para cualquier tipo de cálculos porcentuales o temporales como se demuestra a continuación:

[math] \left\{\begin{matrix}\ M(t_{0}) = −kM(t)\\ M(t^{0.08})=0.08·M_{0}\end{matrix}\right. \Longrightarrow 0.08M_{0}=M_{0}·e^{-kt^{0.08}} \Longrightarrow 0.08=e^{-kt^{0.08}} \Longrightarrow t^{0.08}=\frac{-Ln(0.08)}{K} [/math]

Por lo que podemos afirmar que el problema es muy estable, ya que al cambiar la condición inicial no varia nada.

Pero para su resolución numérica con Octave (o Matlab), debemos elegir una cantidad inicial. Nosotros lo hemos planteado con un valor de 100 para que represente el porcentaje inicial de material en vez de la cantidad material, pero repito, seria indiferente este valor para los cálculos porcentuales y temporales.

%Variables del Problema
h=0.1; % o h=0.01 dependiendo de la gráfica
t0=0;
k=1.24*10^(-4);
m0=100;
tn=40000;
t=0:h:tn;
m=t;
solucion=1;
m(1)=m0;
N=(tn-t0)/h; %si quisiera el numero de subintervalos
  
%con linespace(t0,tn,n+1)
for i=1:N;
  m(i+1)=m(i)+h*(-k*m(i));
  
  if m(1+i)<=0.08*m(1) & length(solucion)==1
    solucion(2)=t(i+1)/h;
  end
  
end

hold on
  plot(t,m)
  anyosDeDesintegracion=solucion(2)
  plot(solucion(2)*h,m(solucion(2)),'+')
hold off

Como se ob

4.1.1 Gráfica Euler h=01

4.1.2 Gráfica Euler h=001

4.2 Trapecio

Para la resolución del problema mediante el método del trapecio ha sido necesario despejar la cantidad de materia [math]M_{(i+1)}[/math] de la ecuación implícita, para poder meterla posteriormente en un bucle en el cual impondremos que una vez alcanzada cierta cantidad [math]M=0.8·M_{0}[/math] pare, tal y como nos plantea el problema.

%Variables del problema
t(1)=0;
h=0.1;
tn=40000;
k=1.24*(10^(-4));
m(1)=100;
t=t(1):h:tn;
n=(tn-t(1))/h;

for i=1:n;
  m(i+1)=(m(i)*(1-k*h/2))/(1+h*k/2);
  if m(i+1)<8;
    tmaximo=(1+i)
    break
  end
end

t=0:h:(length(m)-1)*h;
plot(t,m,'r')

5 Desintegración de un compuesto A en C a través de otro B

5.1 Planteamiento

Se considera la descomposición de un elemento radiactivo A para dar C, a través de un isótopo intermedio B. Donde [math]k_1[/math] es la constante de desintegración de A y [math]k_2[/math] es laa constante de desintegración de B.

A' será la velocidad de desintegración de dicho compuesto. Como hemos visto en apartados anteriores, un material radiactivo se descompone proporcionalmente a la cantidad de materia restante, por lo que [math]M_A(t)'=-K_1·M_A(t)[/math] (con [math]k_1\gt0[/math]). Debido a que A decrece, A' es negativa. Por lo que C aumentará hasta alcanzar la cantidad inicial de A mas la cantidad inicial de C. Como A se transforma en C a través de B, la velocidad de C será [math]M_C(t)'= K_2·M_B(t)[/math] (con [math]k_2\gt0[/math]). [math]M_C(t)'[/math] es positiva dado que crece.
Finalmente, podremos componer la velocidad del compuesto B, que por un lado aumentará lo que decrezca A y por el otro disminuirá lo que aumente C, por lo que [math]M_B(t)'= K_1·M_A(t) - K_2·M_B(t)[/math]. De este modo, el sistema obtenido será:

[math]\\\left\{\begin{matrix} M_A(t)'=-K_1·M_A(t) \\ M_B(t)'= K_1·M_A(t) - K_2·M_B(t) \\ M_C(t)'= K_2·M_B(t) \\ \end{matrix}\right. [/math]

5.2 Resolución numérica