Revisión del 14:53 5 mar 2015

1 Introducción y consideraciones iniciales

Se va a proceder al estudio del comportamiento temporal de una enfermedad infecciosa sin extensión espacial.
El crecimiento de una epidemia podrá asimilarse al modelo logístico.

1.1 Hipótesis iniciales

1. La población es un número fijo y cada miembro de la población es susceptible a la enfermedad.
2. La duración de la enfermedad es larga, de manera que no se cura durante el periodo de estudio.
3. Todos los individuos infectados son contagiosos y circulan libremente entre la población.
4. Cada contacto de una persona infectada con una persona no infectada redunda en la transmisión de la enfermedad.

1.2 Valores iniciales

• La ciudad de estudio posee 500.000 habitantes.
• Al inicio de la primera semana de registro se contabilizaron 200 casos.
• Durante la primera semana aparecieron 300 nuevos casos.

1.3 Variables

• t: Periodo de tiempo de análisis (en semanas).
• N: Población.
• c: Número de contactos con otros individuos de cada persona infectada por unidad de tiempo.

2 Modelo EDO de primer orden

Se llamará I(t) al número de infectados al tiempo t.
El problema vendrá dada por la ecuación logística: [math] I'(t)=\frac{c}{N} \cdot I(t) \cdot (N-I(t)) [/math]

2.1 Número de contactos de una persona infectada

Utilizaremos un método numérico para calcular mediante Euler el número de contactos de una persona infectada con otros individuos por semanas. Elegiremos el valor c aquel que minimice los valores calculados, mediante la siguiente fórmula:

[math] \vert I (primera semana) − 500 \vert [/math]

Fig 1: Relación entre el valorc y el error cometido.

h=0.01; 
c0=0.01; 
cN=0.99;
c=c0:h:cN;
k=length(c);
y0=200;
y(1)=y0;
N=500000;
for i=1:99;
    c(i)=i/100;
    m(i)=N*y0/(y0+(N-y0).*exp(-c(i)));
    z(i)=abs(500-m(i));
end
plot(c,z)

2.2 Evolución de la epidemia

Deseamos conocer la evolución del número de infectados a lo largo de las semanas, para ello emplearemos los métodos de Heun y Runge Kutta de orden 4.

Fig 2: Gráfica de infectados según el método de Heun.

N=500000;
h=0.01;
I=[];
I0=200;
I(1)=I0;
c=0.92;
n=1;
t0=0;
while I<400000
    % Método de Heun
K1=I(n)*(c/N)*(N-I(n));
K2=(I(n)+K1*h)*(c/N)*(N-I(n)+K1*h);
I(n+1)=I(n)+(h/2)*(K1+K2);
n = n+1;
end
tNI=h*(length(I)-1);
tI=t0:h:tNI; 
plot(tI,I)
valor6semanasheun= I(6/h)
tiempo400000infectados=round(n/100)

N=500000;
h=0.01;
s0=200;
s(1)=s0;
c=0.92;
k=1;
t0=0;
% Método Runge-Kutta
while s<400000
C1=s(k)*(c/N)*(N-s(k));
C2=(s(k)+1/2*C1*h)*(c/N)*(N-(s(k)+1/2*C1*h));
C3=(s(k)+1/2*C2*h)*(c/N)*(N-(s(k)+1/2*C2*h));
C4=(s(k)+C3*h)*(c/N)*(N-(s(k)+h*C3));
s(k+1)=s(k)+(h/6)*(C1+2*C2+2*C3+C4);
k=k+1;
end
tNS=h*(length(s)-1);
tS=t0:h:tNS;
plot(tS,s,'g')
Valor6semanasrungekutta= s(6/h)
tiempo400000infectados=round(k/100)

3 Modelo SIR