Diferencia entre revisiones de «Explotación minera (Grupo21-C)»
De MateWiki
(→Relación de cantidad y produccion) |
|||
| Línea 16: | Línea 16: | ||
* 1.Necesitamos saber para que valor Q alcanza el máximo, para ello '''derivamos''' nuestra función '''respecto a Q''' : | * 1.Necesitamos saber para que valor Q alcanza el máximo, para ello '''derivamos''' nuestra función '''respecto a Q''' : | ||
<math> | <math> | ||
| − | P'(Q) =r(log(\frac{K}{Q})+Q\frac{\frac{-K}{Q^2}}{\frac{K}{Q}} | + | P'(Q) =r(log(\frac{K}{Q})+Q\frac{\frac{-K}{Q^2}}{\frac{K}{Q}} |
| − | + | ||
| − | + | ||
</math> | </math> | ||
| − | * 2 | + | * 2. Y así obtendremos nuestra '''tasa intrínseca de crecimiento(r)''' para nuestra función Gompertz : |
| − | + | ||
| + | * 3. Tenemos en cuenta que nuestra '''producción máxima''' son 240 toneladas/año, entonces : | ||
=='''Relación de la producción y el volumen de toneladas extraídas modelo de Gompertz'''== | =='''Relación de la producción y el volumen de toneladas extraídas modelo de Gompertz'''== | ||
| Línea 108: | Línea 107: | ||
Euler es un método de aproximación de problemas de valor inicial,obtendremos la solución aproximación de soluciones en un intervalo definido.Si nuestra h es pequeña la aproximación será mejor, ya que la acumulación de errores en cada solución será menor. | Euler es un método de aproximación de problemas de valor inicial,obtendremos la solución aproximación de soluciones en un intervalo definido.Si nuestra h es pequeña la aproximación será mejor, ya que la acumulación de errores en cada solución será menor. | ||
| + | =='''Función Q(t), obtención por Euler y dibujo de su gráfica'''== | ||
| + | {{matlab|codigo= % Apartado 5. Euler | ||
| + | |||
| + | t0=0; %El tiempo inicial es cero | ||
| + | Q0=0.1; %al principio la cantidad de mineral extraida es cero | ||
| + | h=1/12; %El enunciado dice que el paso es de un mes, y como nuestra unidad es el año, el paso será 1/12 | ||
| + | % Definimos la variable independiente pero como no conocemos el tiempo en el que se paraliza la excavacíón, por lo que del | ||
| + | %vector t solo definimos el primer elemento | ||
| + | t=t0; | ||
| + | r=240*exp(1)/10875; %el valor de r ha sido hallado en el apartado 2 | ||
| + | K=10875; %Cantidad total extraible | ||
| + | %Al no conocer el tiempo final, tampoco podemos saber el valor de N, y por | ||
| + | %lo tanto, el tamaño del vector Q, por lo que solo definimos el primer | ||
| + | %elemento del vector | ||
| + | Q(1)=Q0; | ||
| + | i=1; | ||
| + | while 1 %Empezamos el bucle | ||
| + | Q(i+1)=Q(i)+h*(r*Q(i)*log(K/Q(i))); %euler | ||
| + | t(i+1)=t(i)+h; | ||
| + | if i>1&&abs((r*Q(i)*log(K/Q(i)))-25)<0.1&r*Q(i-1)*log(K/Q(i-1))>r*Q(i)*log(K/Q(i)) %Vemos cuando la producción deja de ser rentable, que será cuando la producción baje a 25 toneladas | ||
| + | |||
| + | break %en ese momento salimos del bucle | ||
| + | end | ||
| + | i=i+1; | ||
| + | end | ||
| + | |||
| + | |||
| + | plot(t,Q,'r') %dibujamos la gráfica | ||
| + | legend('Euler','Location','best') | ||
| + | |||
| + | }} | ||
=='''Tendencia de nuestra cantidad Q cuando el tiempo lim→ ∞ '''== | =='''Tendencia de nuestra cantidad Q cuando el tiempo lim→ ∞ '''== | ||
* Realizamos el programa usando un tiempo máximo '''elegido por nosotros''',que sea '''grande''' para ver la tendencia de nuestra función (tmáximo 10000) | * Realizamos el programa usando un tiempo máximo '''elegido por nosotros''',que sea '''grande''' para ver la tendencia de nuestra función (tmáximo 10000) | ||
| Línea 127: | Línea 157: | ||
xlabel('tiempo(años)') %titulo al eje x | xlabel('tiempo(años)') %titulo al eje x | ||
ylabel('cantidad (tn)') %titulo al eje y | ylabel('cantidad (tn)') %titulo al eje y | ||
| + | |||
| + | |||
}} | }} | ||
Revisión del 00:39 5 mar 2015
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Explotación minera. Grupo 21-C |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | Jesús Infestas Robles, Pablo Medina Higueras , Alejandro Perales Juidías, Jaime Delage Ramírez, Mairena Pérez López |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
- 1 Introducción
- 1.1 Relación de cantidad y produccion
- 1.2 Relación de la producción y el volumen de toneladas extraídas modelo de Gompertz
- 1.3 Relación de la producción y el volumen de toneladas extraídas modelo de Verhulst
- 1.4 Utilización del método de Euler,RK4 y Heun
- 1.5 Función Q(t), obtención por Euler y dibujo de su gráfica
- 1.6 Tendencia de nuestra cantidad Q cuando el tiempo lim→ ∞
1 Introducción
- La idea principal se basa en el modelo de Gompertz ,el cual muestra las tasas de crecimiento en un periodo de tiempo y su disminución de forma exponencial con el paso del mismo.Aplicado a nuestro caso se trata de una explotación de un yacimiento mineral, en un principio se decide explotar por su posible rentabilidad,el cual en un periodo de tiempo dado -25 años- será durante el cual se extrae la cantidad mayor de mineral y a partir de dicho tiempo,empecerá a descender esta producción, las causas son ajenas a nuestro estudio, pero seguramente ya no exista el mismo rendimiento.
- Con lo cual nuestro problema muestra una ecuación diferencial que sigue esta forma:
[math] \frac{dQ}{dt}=rQlog(\frac{K}{Q}) [/math]
1.1 Relación de cantidad y produccion
[math] P(Q) = \frac{dQ}{dt}=rQlog(\frac{K}{Q}) [/math]
- 1.Necesitamos saber para que valor Q alcanza el máximo, para ello derivamos nuestra función respecto a Q :
[math] P'(Q) =r(log(\frac{K}{Q})+Q\frac{\frac{-K}{Q^2}}{\frac{K}{Q}} [/math]
- 2. Y así obtendremos nuestra tasa intrínseca de crecimiento(r) para nuestra función Gompertz :
- 3. Tenemos en cuenta que nuestra producción máxima son 240 toneladas/año, entonces :
1.2 Relación de la producción y el volumen de toneladas extraídas modelo de Gompertz
- Realizamos el programa teniendo en cuenta nuestra tasa intrínseca de crecimiento anteriormente hallada:
r=240*exp(1)/10785; %tasa intrínseca de crecimiento
k=10875; %la cantidad total (toneladas) extraible
Q=0:1:10875; %vector con la cantidad de toneladas desde 0 hasta el maximo que se extraen
N=length(Q); %Tamaño vector Q
P=zeros(1,N); %vector de ceros deuna fila y N columnas
for i=1:N %realizo el bucle
P(i)=r*Q(i)*log(k/Q(i)); %Defino la funcion P(Q)
end
plot(Q,P) %Dibujo mi grafica como una curva con Q(abcisas) y P(ordenadas)
xlabel('cantidad (tn)') %añado un pequeño titulo a mi Q y P
ylabel('produccion (tn/año)')
- Análisis de nuestra curva:
- 1.Como se puede apreciar,nuestra función realiza una curva que transcurre desde 0 hasta la cantidad máxima de toneladas que se pueden extraer.
- 2.Además;la curva que describre nuestra función alcanza su máximo relativo en 240 toneladas por año, que es la producción máxima de nuestra función.
1.3 Relación de la producción y el volumen de toneladas extraídas modelo de Verhulst
- Realizamos nuestro programa con nuestra nueva función y tasa intrínseca de crecimiento para el modelo de Verhulst :
[math] Q'=rQ(1-\frac{Q}{k}) [/math]
r1=240*exp(1)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento modelo de Gompertz
r2=(240*4)/10875; %Tasa intrinseca de creciemiento modelo de Verhulst
K=10875; %Cantidad maxima de toneladas extraibles
Q=0:1:10875; %Vector con la cantidad en toneladas desde 0 hasta K
N=length(Q); %Tamaño de nuestro vector Q
for i=1:N %Realizamos un bucle desde uno hasta el numero de elementos(N) de nuestro vector Q
PG(i)=r1*Q(i)*log(K/Q(i)); %Gompertz
PV(i)=r2*Q(i)*(1-Q(i)/K); %Verhulst
end %cerramos el bucle
subplot(1,3,1)
plot(Q,PG) %Dibujamos una curva en nuestro eje x(Q)y nuestro eje y(funcion de Gompertz)
xlabel('cantidad') %añadimos titulo a las abcisas
ylabel('produccion') %añadimos titulo a las ordenadas
subplot(1,3,2)
plot(Q,PV,'g') %dibujamos nuestra curva con eje x(Q) y eje y(funcion del modelo de Verhulst)
xlabel('cantidad (tn)') %añadimos titulo a las abcisas d
ylabel('produccion (tn/año)') %añadimos titulo a las ordenadas
subplot(1,3,3)
plot(Q,PG) %Dibujamos una curva en nuestro eje x(Q)y nuestro eje y(funcion de Gompertz)
xlabel('cantidad') %añadimos titulo a las abcisas
ylabel('produccion') %añadimos titulo a las ordenadas
hold on %sobre nuestra curva anterior le superponemos la siguiente
plot(Q,PV,'g') %dibujamos nuestra curva con eje x(Q) y eje y(funcion del modelo de Verhulst)
xlabel('cantidad (tn)') %añadimos titulo a las abcisas d
ylabel('produccion (tn/año)') %añadimos titulo a las ordenadas
legend('Modelo Gompertz','Modelo Verhulst','Location','best')
hold off
- Análisis de nuestras gráficas :
- 1.En la primera subventana aparece la curva del modelo de Gompertz explicada en el apartado anterior
- 2.En la segunda subventana aparece la curva del modelo de Verhulst , de acuerdo con este podemos decir que ajusta bastante bien cuando está alejado del momento inicial
- 3.
1.4 Utilización del método de Euler,RK4 y Heun
- Previo
Euler es un método de aproximación de problemas de valor inicial,obtendremos la solución aproximación de soluciones en un intervalo definido.Si nuestra h es pequeña la aproximación será mejor, ya que la acumulación de errores en cada solución será menor.
1.5 Función Q(t), obtención por Euler y dibujo de su gráfica
% Apartado 5. Euler
t0=0; %El tiempo inicial es cero
Q0=0.1; %al principio la cantidad de mineral extraida es cero
h=1/12; %El enunciado dice que el paso es de un mes, y como nuestra unidad es el año, el paso será 1/12
% Definimos la variable independiente pero como no conocemos el tiempo en el que se paraliza la excavacíón, por lo que del
%vector t solo definimos el primer elemento
t=t0;
r=240*exp(1)/10875; %el valor de r ha sido hallado en el apartado 2
K=10875; %Cantidad total extraible
%Al no conocer el tiempo final, tampoco podemos saber el valor de N, y por
%lo tanto, el tamaño del vector Q, por lo que solo definimos el primer
%elemento del vector
Q(1)=Q0;
i=1;
while 1 %Empezamos el bucle
Q(i+1)=Q(i)+h*(r*Q(i)*log(K/Q(i))); %euler
t(i+1)=t(i)+h;
if i>1&&abs((r*Q(i)*log(K/Q(i)))-25)<0.1&r*Q(i-1)*log(K/Q(i-1))>r*Q(i)*log(K/Q(i)) %Vemos cuando la producción deja de ser rentable, que será cuando la producción baje a 25 toneladas
break %en ese momento salimos del bucle
end
i=i+1;
end
plot(t,Q,'r') %dibujamos la gráfica
legend('Euler','Location','best')1.6 Tendencia de nuestra cantidad Q cuando el tiempo lim→ ∞
- Realizamos el programa usando un tiempo máximo elegido por nosotros,que sea grande para ver la tendencia de nuestra función (tmáximo 10000)
%Q(t)=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K)))
%y por lo tanto el limite valdrá:
t=0:1:10000; %vector t desde 0 hasta 10000
N=length(t); %tamaño del vector t
Q=zeros(1,N); %matriz de una fila y N columnas
r=240*exp(1)/10875; %valor de nuestra tasa intriseca de crecimiento en Gompertz
Q0=0.1; %valor inicial
K=10875; %cantidad maxima extraible
Q(1)=Q0; %primer valor de nuestra matriz Q es Q0
Q=K*exp(exp(-r*t)*(log(Q0/K))); %Definimos nuestra funcion de Gompertz
for i=1:N %empezamos el bucle desde 1 hasta el tamaño del vector t ,(N)
Q(i)=K*exp(exp(-r*t(i))*(log(Q0/K)));%Definimos Gompertz en funcion de cada elemento de t
end %cerramos el bucle
Q(10000) %
plot(t,Q) %dibujamos la curva con tiempo en abcisas y Q en ordenadas
xlabel('tiempo(años)') %titulo al eje x
ylabel('cantidad (tn)') %titulo al eje y
