Diferencia entre revisiones de «Explotación minera (Grupo 5C)»

Revisión del 12:51 4 mar 2015

1 Introducción

• El problema nos pide el análisis de la explotación de un yacimiento de mineral. Dicha explotación sigue un modelo logístico de Gompertz, cuya ecuación tiene la siguiente forma:
  

[math] {dQ \over dt}=rQlog ({K \over Q}) [/math]

donde Q(t) es la cantidad de mineral extraído, K la cantidad total extraíble y r la tasa intrínseca de crecimiento.

• En nuestro caso, sabemos que la extracción de mineral tendrá un crecimiento muy rápido de producción durante los primeros 25 años, momento a partir del cual descenderá lentamente debido a diversos factores. Además de esto, conocemos la cantidad total extraíble del yacimiento, por lo que nuestra ecuación inicial quedará de la siguiente forma:
  

[math] {dQ \over dt}=rQlog ({10875 \over Q}) [/math]

2 Relación entre cantidad y producción

Mediante las siguientes gráficas, se demuestra que la relación entre Q y P es la siguiente:

[math] {dQ \over dt}= P [/math]

o lo que es lo mismo: P=Q'

3 Modelo de Gompertz: Valor de la tasa de crecimiento (r) y resolución de la función de producción

3.1 Tasa de crecimiento r

• Partimos del siguiente dato inicial:

K= 10875 toneladas

• La ecuación del modelo de Gompertz es:
  

[math]{dQ \over dt}=rQlog({K \over Q})[/math]

• Condición:

P(t=25 años)= 240 t/año [math] \rightarrow [/math] P(25)=240 [math] \rightarrow [/math] Q'(25)=240

• Resolución:

La solución de la ecuación de Gompertz es la siguiente:

: [math] Q(t)=Ke^-Ae^-rt [/math]

El enunciado dice que la producción es máxima a los 25 años, por lo que si Q' tiene un máximo en un punto, Q"=0 en dicho punto.
Derivamos la ecuación inicial del modelo y la igualamos con la condición que hemos obtenido anteriormente.

: [math] Q"=r^2Qln({K \over Q})ln({K \over Q}-1)=0  [/math]

Despejando esta ecuación llegamos a que Q(25 años)= 4000,69 t.
Conociendo Q(25) podemos despejar "r" de nuestro problema:

:  [math] \left\{ \begin{array}{c} Q(25)=4000,69 t. \\ Q'(25)=240 t. \end{array}\right [/math]

Así obtenemos r=0,05999 [math] \simeq [/math] 0,06
Con estos datos, ya podemos despejar A de [math] Q(t)=Ke^-Ae^-rt [/math], siendo A=4,4705
Por lo tanto, nuestra ecuación del modelo de Gompertz quedará de la siguiente forma:

:  [math] Q(t)=10875e^-4,47e^-0,6t [/math]

3.2 Función de producción P(Q)

Para obtener la función P(Q), obtendremos por un lado P(t) y por otro Q(t), para después representarlos en la forma P(Q).

• 

  Descripción1

4 Modelo de Verhlust: Valor de la tasa de crecimiento (r) y resolución de la función de producción

• Partimos de los siguientes datos iniciales:

K= 10875 toneladas

• La ecuación del modelo de Verhlust es:
  

[math]{dQ \over dt}=rQ(1-{Q \over K})[/math]

• Condición:

P(t=25 años)= 240 t/año [math] \rightarrow [/math] P(25)=240 [math] \rightarrow [/math] Q'(25)=240

• Resolución:

El enunciado dice que la producción es máxima a los 25 años, por lo que si Q' tiene un máximo en un punto, Q"=0 en dicho punto.
Derivamos la ecuación inicial del modelo y la igualamos con la condición que hemos obtenido anteriormente.

[math] Q"=rQ'(1-{Q \over 5437,5})=0 [/math]

Despejando esta ecuación llegamos a que Q(25 años)= 5437,5 t.
Conociendo Q(25) podemos despejar "r" de nuestro problema:

[math] \left\{ \begin{array}{c} Q(25)=5437,5 t. \\ Q'(25)=240 t. \end{array}\right [/math]

Así obtenemos r=0,088276 De esta forma, nuestra ecuación del modelo de Verhlust quedará de la siguiente forma:

: [math] Q'=0,0883Q(1-{Q \over 10875})=0  [/math]

Y como sabemos que P=Q', la ecuación de P(t) es la siguiente:

: [math] P(t)=0,0883Q(t)(1-{Q(t) \over 10875})=0  [/math]

5 Problema de valor inicial utilizando distintos métodos

5.1 Método de Euler

5.2 Método de Runge-Kutta

5.3 Método de Heun