Diferencia entre revisiones de «Desintegración radiactiva (Grupo 13-C)»

Revisión del 12:27 3 mar 2015

Este trabajo nos plantea el cálculo de la desintegración en función del tiempo de un material a otro de igual elemento. Se ha observado que todos los procesos radiactivos simples siguen una ley exponencial decreciente. Si M0 es el número de núcleos radiactivos en el instante inicial, después de un cierto tiempo t, el número de núcleos radiactivos presentes M se ha reducido a la siguiente ecuación:

donde k es una característica de la sustancia radiactiva denominada constante de desintegración. El signo menos aparece porque N disminuye con el tiempo a consecuencia de la desintegración. Integrando esta ecuación obtenemos la ley exponencial decreciente, siendo M0 el número inicial de núcleos radioactivos presentes en el instante t=0.

1 .-Interpretación

Al interpretar las funciones M(t) y la constante k se deduce que M(t) corresponde a la masa de los materiales radiactivos que se desintegran para formar otros materiales del mismo elemento en función de la variable dependiente ‘t’. Podemos afirmar que según avanza el tiempo la masa sigue una ley inversamente proporcional de forma exponencial con respecto al tiempo, siendo k el grado de proporcionalidad.

2 .-Problema de valor inicial(Método de Euler)

Para calcular la edad de los restos arqueológicos comenzamos con el cálculo de un problema de valor inicial, eligiendo una condición inicial y aplicando el método de Euler para los intervalos h=0.1 y h=0.01.

Resolución numérica del problema de valor inicial

t0=0; y0=1; h1=0.1; h2=0.01;
y1(1)=y0; y2(1)=y0;
t1(1)=t0; t2(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24e-04;
cond=y0*0.08;
while y1(i)>cond
    y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
    t1(i+1)=t1(i)+h1;
    i=i+1;
end
while y2(n)>cond
    t2(n+1)=t2(n)+h2;
    y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
    n=n+1;
end
disp('Años de antigüedad de los huesos:')
disp(t2(end))
disp(i)
hold on
  plot(t1,y1)
  plot(t2,y2,'--g')
  legend('euler h=0.1','euler h=0.01','location','best')
hold off

¿??¿? es estableeeee¿?¿?¿¿

3 .-Problema de valor inicial (Método del Trapecio)

t0=0;
h1=0.1;
y0=1; 
z(1)=y0;       
t1(1)=t0;
i=1; n=1; k=1.24*(10^(-4));
cond=y0*0.08
while z(i)>cond
    z(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*z(i);
    t1(i+1)=t1(i)+h1;
    i=i+1;
end
disp('tiempo final:')
disp(t1(end))
disp(i)
hold on
  plot(t1,z,'m')
  legend('trapecio','location','best')
hold off

4 .-Vida media

Para cada sustancia radiactiva hay un intervalo t fijo, denominado vida media, durante el cual el número de núcleos que había al comienzo se reduce a la mitad. Poniendo en la ecuación M=M0/2 se obtiene,

que relaciona la vida media y la constante de desintegración. En este ejercicio además de utilizar el método de Runge-Kutta, hemos realizado una comparativa con los métodos de los apartados anteriores además de la solución exacta.

t0=0;
h1=0.1;
h2=0.01;
y0=1; 
y1(1)=y0;
y2(1)=y0;
trap(1)=y0; 
RK(1)=y0;
ye(1)=y0;
t1(1)=t0;
t2(1)=t0;
t3(1)=t0;
i=1;
n=1;
m=1;
k=1.24e-04;
cond1=y0*0.08;
cond2=y0/2;

while trap(i)>cond1
    
    y1(i+1)=y1(i)+h1*(-k*y1(i));
    trap(i+1)=((1-h1*k/2)/(1+h1*k/2))*trap(i);
    t1(i+1)=t1(i)+h1;
    ye(i+1)=y0*exp(-k*t1(i+1));
    i=i+1;
    
end
while y2(n)>cond1
    
t2(n+1)=t2(n)+h2;
y2(n+1)=y2(n)+h2*(-k*y2(n));
n=n+1;

end
while RK(m)>cond2
    
    K1=-k*RK(m);
    K2=-k*RK(m)-k/2*K1*h1;
    K3=-k*RK(m)-k/2*K2*h1;
    K4=-k*RK(m)-k*K3*h1;
    
    RK(m+1)=RK(m)+h1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
    t3(m+1)=t3(m)+h1;
    m=m+1;
end

disp('vida media del carbono 14:')
disp(t3(end))
hold on
plot(t1,y1,'r')
plot(t2,y2,'g')
plot(t1,trap)
plot(t3,RK,'*k')
plot(t1,ye,'m')
legend('Euler h=0.1','Euler h=0.01','trapecio','Runge-Kutta','exacta','location','best')
hold off

La solución de este problema sería:

5 .-Serie de desintegración radiactiva

Cuando una sustancia se desintegra radiactivamente, por lo general no solo se transmuta en en una sustancia estable (con lo que se detiene el proceso), sino que la primera sustancia se desintegra, forma otra sustancia radiactiva y ésta, a su vez, decaer y forma una tercera sustancia, etc.

Sistema de ecuaciones diferenciales que permiten conocer la cantidad de masa de cada elemento en cada instante t.

Siendo K1 Y K2 las constantes de desintegración de MA y MB y MC un elemento estable. Supongamos también que MA(t),MB(t)y MC(t) representan las cantidades de los elementos MA, MB y MC que quedan en cualquier instante.

Serie de desintegración radiactiva

6 .-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)

Resolvemos tomando el apartado anterior, el PVI conocidas las constantes de desintegración y las concentraciones iniciales en un intervalo de h=0.1 para Euler y otro de t∈[0,1] para el método del trapecio.

t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k1=5;
k2=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
 for i=1:N
     y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
     z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
 end
 hold on
 plot(t,y(1,:),'--')
 plot(t,y(2,:),'--g')
 plot(t,y(3,:),'--r')
 plot(t,z(1,:))
 plot(t,z(2,:),'g')
 plot(t,z(3,:),'r')
 xlabel('tiempo')
 ylabel('masa')
 hold off
 legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');

7 .-Serie de desintegración radiactiva del PVI.(Método de Euler y Trapecio)con k1=1 y k2=5

t0=0;
tN=10;
h=0.1;
k2=5;
k1=1;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
y=zeros(3,N+1);
y0=[1,0,0]';
z=zeros(3,N+1);
z0=[1,0,0]';
I=eye(3);
y(:,1)=y0;
z(:,1)=z0;
A=[-k1,0,0;k1,-k2,0;0,k2,0];
 for i=1:N
     y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));%Método de Euler
     z(:,i+1)=(I-(h/2)*A)\(z(:,i)+(h/2)*(A*z(:,i)));%Método del trapecio
 end
 hold on
 plot(t,y(1,:),'--')
 plot(t,y(2,:),'--g')
 plot(t,y(3,:),'--r')
 plot(t,z(1,:))
 plot(t,z(2,:),'g')
 plot(t,z(3,:),'r')
 xlabel('tiempo')
 ylabel('masa')
 hold off
 legend('desMA-Euler','desMB-Euler','desMC-Euler','desMA-Trapecio','desMB-Trapecio','desMC-Trapecio','Location','Best');