Diferencia entre revisiones de «Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C»

Revisión del 13:24 2 mar 2015

El Trabajo 3 del curso 2014/2015 de Ecuaciones Diferenciales nos habla del comportamiento de distintos materiales radiactivos (durante gran parte del trabajo será el isótopo [math] C^{14} [/math]). El cual se desintegra de forma natural para formar elemento o isótropo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactovo presente. Este procedimiento puede simularse con la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo: :[math] M'(t)=-kM(t) [/math] A partir de esto tendremos que ir resolviendo los problemas que nos plantea el trabajo y que son los que se pueden ver en el índice del contenido:

1 ) Interpretación

2 ) Cálculo de la Edad con el Método Euler

3 ) Cálculo de la Edad con el Método del Trapecio

4 ) Cálculo de la Vida Media con el Método Runge-Kutta

5 ) Determinación el Sistema de Ecuaciones Diferenciales

El sistema de ecuaciones tendrá tres ecuaciones independientes a resolver, una para cada sustancia: A, B y C. La derivada de cada sustancias respecto del tiempo mide la velocidad de desintegración de la sustancia en cuestión y es representada por A', B' y C'.

Como la sustancia A se desintegra en B, la constante (k1) será negativa puesto que decrece la concentración de A. La sustancia B crece al mismo ritmo que la velocidad de desintegración de A por lo que k1 será positiva pero a la vez se desintegra en favor de C a una velocidad de k2 por su concentración, siendo k2 negativa. Por último, la sustancia C crecerá al ritmo de la desintegración de B, siendo esta velocidad igual a k2 (positivo) por la concentración de B.

El sistema quedará de la siguiente forma:

center

6 ) Resolución del PVI con Método Euler y Método del Trapecio

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=5 y k2=1. Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años.

% Condiciones Iniciales del PVI   

    t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1; 

    A(1)=A0; 
    B(1)=B0;
    C(1)=C0;

    t(1)=t0; 

    i=1; n=1; k1=5; k2=1;

% MÉTODO DE EULER

    while t<10

        A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
        B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
        C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

        t(i+1)=t(i)+h;

        i=i+1;

    end

   
% Hacemos la gráfica
    
    figure(1)
    hold on

    plot(t,A)
    plot(t,B,'g')
    plot(t,C,'r')
    title('EULER')
    legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
    
    hold off
    

    
    %MÉTODO DEL TRAPECIO
   
   % Renombramos las condiciones iniciales
   a0=1; b0=0; c0=0;
   a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
   t1(1)=t0;

while t1(i)<10

    a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
    b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
    c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));
    
    t1(i+1)=t1(i)+h;

    i=i+1;

end


% Hacemos la Gráfica

figure(2)
hold on

  plot(t1,a)
  plot(t1,b,'g')
  plot(t1,c,'r')
  title('TRAPECIO')
  legend('A=azul','B=verde','C=rojo')

hold off

Como se puede observar en las gráficas, al ser la constante de desintegración de A (k1) muy alta y la de B (k2) más baja, la sustancia A se desintegra rápidamente, mientras la B crece hasta que su concentración es cinco veces la de A, entonces empieza a decrecer según va apareciendo C. También se ve que ambas gráficas difieren ligeramente debido a que siempre se produce un error, y en el caso del método del trapecio, este error es menor al ser un método más exacto, por lo que podría decirse que la gráfica de la derecha es más exacta.

7 ) Resolución del PVI con las Constantes Cambiadas