Diferencia entre revisiones de «Reacciones con Autocatálisis (A5)»
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| + | Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C, | ||
| + | :::A + B → C. | ||
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| + | Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. | ||
| + | En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular, A + B →(k1) 2B, en la que B hace al mismo tiempo papel de reactivo y producto. Se pide: | ||
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Consideraremos una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. <br /> | Consideraremos una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. <br /> | ||
Revisión del 12:44 2 mar 2015
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Reacciones con Autocatálisis. Grupo 5A |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | Javier Blanco Villarroel Marta Cavero Guillén Alba Bringas Gil Irene Bendala Sugrañes Paula Botella Andreu |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,
- A + B → C.
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular, A + B →(k1) 2B, en la que B hace al mismo tiempo papel de reactivo y producto. Se pide:
2 Apartados 1 2 y 3
Consideraremos una reacción química irreversible en una solución bien mezclada.
Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes.
Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se
conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,
- [math] A + B \rightarrow C [/math]
Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas que establece que la velocidad de
reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.
En nuestro caso analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo
que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una
reacción bimolecular
- [math] A + B \rightarrow k . 2B [/math]
en la que B hace al mismo tiempo papel de reactivo y producto.
Llamaremos:
[math] x= A+B[/math]
[math] y= 2B[/math]
Despejando el sistema obtenemos que:
[math] B=\frac{y}{2}[/math]
[math] A=x-\frac{y}{2}[/math]
A partir del principio de conservación de masas sabemos que [math] x+y= cte [/math] por lo que [math] x'+ y' = 0[/math] , quedando demostrada la primera ecuación.
A partir de la ley de acción de masas obtenemos que la velocidad de reacción [math] v= k.A.B[/math] y además sabemos que [math]v= y' = -x'[/math]
Del sistema anterior obtenemos que [math] AB=\frac{y}{2}. (x-\frac{y}{2})[/math], sustituyendo:
[math]y' = k.\frac{y}{2}.(x-\frac{y}{2}) [/math] y como [math] x=cte-y[/math] podemos decir que [math]y' = k.\frac{y}{2}.(cte-y-\frac{y}{2}) [/math]
[math]\frac{k}{2} = k[/math] puesto que es una constante.
Seguimos despejando [math] y'=k.y(\frac{2}{3}cte-y) = k.y(cte-y) \rightarrow y'= k.x.y [/math]
Integrando la primera ecuación y sustituyendo el valor de x(t) en la segunda, obtenemos que [math] y'=-k.y²[/math] por lo que el PVI asociado será:
- [math] y'=-k.y²[/math]
- [math] y(x₀)= y₀[/math]
Para que tenga una solución única f(x,y) tiene que ser continua en (x0,y0) [math] \rightarrow [/math]Punto de condición inicial.
Además [math] \frac{\partial f}{\partial f} (x,y)[/math] tiene que ser continua en (x0,y0).
Como [math] \frac{\partial f}{\partial f}(x,y) = -2kyy' \rightarrow [/math] Es continua para todo valor (x0,y0).
Y [math]f(x,y)= -k.y²[/math] también lo es para todo valor (x0,y0), podemos afirmar que tiene una solución única.
Suponiendo que las concentraciones iniciales de A y B son [math]1\frac{mol}{l}[/math] y [math]0,01\frac{mol}{l}[/math] respectivamente,
y [math]k=1\frac{mol}{l}[/math], resolvemos el PVI por el método de Euler, eligiendo un paso h = 0,1, en los primeros
10 segundos.
%Ejercicio 2.2 Euler
t0=0
tn=10
n=100
h=(tn-t0)/n;
t=t0:h:tn;
y0=1
y=zeros(1,n+1);
y(1)=y0;
yy=y0;
k=1
x0=0.01
x=zeros(1,n+1);
x(1)=x0;
xx=x0;
for i=1:n
yy=yy+h*(-k*xx.*yy);
xx=xx+h*k*(xx.*yy);
y(i+1)=yy;
x(i+1)=xx;
end
plot(t,y,'g','linewidth',2)
title('Concentración - Tiempo','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
legend('Concentración de B','Concentración de A','location','east')
Ahora lo resolveremos por el método del trapecio:
%Ejercicio 2.3 trapecio
t0=0
tn=10
n=100
h=(tn-t0)/n;
t=t0:h:tn;
y0=1
y=zeros(1,n+1);
y(1)=y0;
yy=y0;
k=1
x0=0.01;
x=zeros(1,n+1);
x(1)=x0;
xx=x0;
for i=1:n
yy=(((2*yy)/(-k*h))+xx.*yy)/((-2/(k*h))+(-k*xx));
xx=(((2*xx)/(k*h))+xx.*yy)/((2/(k*h))-(k*yy));
y(i+1)=yy;
x(i+1)=xx;
end
plot(t,x,'k','linewidth',2)
hold on
plot(t,y,'c','linewidth',2)
title('Concentración - Tiempo (Trapecio)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
legend('Concentración de B','Concentración de A','location','best'
Y por último por el método de Runge-Kutta:
%Ejercicio 2.3 Runge Kutta
t0=0
tn=10
n=100
h=(tn-t0)/n;
t=t0:h:tn;
y0=1
y=zeros(1,n+1);
y(1)=y0;
yy=y0;
k=1
x0=0.01
x=zeros(1,n+1);
x(1)=x0;
xx=x0;
for i =1:n
k1A=(-k*xx.*yy);
k1B=(k*xx.*yy);
y1=yy+h*k1A/2;
x1=xx+h*k1B/2
k2A=(-k*x1.*y1);
k2B=(k*x1.*y1);
y2=yy+h*k2A/2;
x2=xx+h*k2B/2;
k3A=(-k*x2.*y2);
k3B=(k*x2.*y2);
y3=yy+h*k3A/2;
x3=xx+h*k3B/2;
k4A=(-k*x3.*y3);
k4B=(k*x3.*y3);
yy=yy+((h/6)*(k1A+2*k2A+2*k3A+k4A));
xx=xx+((h/6)*(k1B+2*k2B+2*k3B+k4B));
y(i+1)=yy;
x(i+1)=xx;
end
figure(1)
plot(t,x,'y','linewidth',2)
hold on
plot(t,y,'m','linewidth',2)
title('Concentración - Tiempo (Runge-Kutta)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
legend('Concentración de B','Concentración de A','location','best')
(interpretación de las gráficas)
3 Apartado 4
En este apartado resolveremos el problema anterior tratándolo como un sistema de dos variables.
t0=0; tf=10;
w0=[1;0.01];
h=0.1; N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
w=zeros(2,N+1); %las filas es el número de incógnitas en el sistema
w(:,1)=w0;
ww=w0;
%Euler
for n=1:N
F=[-1*ww(1)*ww(2);1*ww(1)*ww(2)];
ww=ww+h*F;
w(:,n+1)=ww;
end
subplot(1,2,1)
plot(t,w,'*'); %MATLAB dibuja una grágica para cada columna, NO poner color para que nos ponga cada una de un colo
legend('Concentración de A','Concentración de B', 'location','best')
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Euler)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 10);
%Runge Kutta
z0=[1;0.01]; %para volver a empezar
z=zeros(2,N+1); %las filas es el número de incógnitas en el sistema
z(:,1)=z0;
zz=z0;
for n=1:N
F=[-1*zz(1)*zz(2);1*zz(1)*zz(2)];
k1=F;
z1=F+(1/2)*k1*h;
k2=z1;
z2=F+(1/2)*k2*h;
k3=z2;
z3=F+k3*h;
k4=z3;
zz=zz+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
z(:,n+1)=zz;
end
subplot(1,2,2)
plot(t,z,'o')
legend('Concentración de A','Concentración de B', 'location','best')
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Runge-Kutta)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 10);
Se denomina reacción autocatalítica aquella en la que uno de los productos actúa como catalizador, la velocidad de reacción presenta un máximo cuando las concentraciones de A y B son iguales, mientras que es igual a cero cuando la concentración de A o de B es nula. Esto se debe a que en una reacción autocatalítica si comenzamos con una cantidad pequeña de A la velocidad de reacción aumentaría a medida que se vaya formando más R. En el otro extremo, cuando haya desaparecido todo el componente A la velocidad ha de tender a cero. En la gráfica podemos observa como al principio la variación de la concentración de ambas sustancia es muy pequeña, pero a medida que se empieza a generarse B la velocidad va aumentando, hasta hacerse máxima en el punto que las concentraciones de A y B se igualan, y vuelve a descender hasta hacerse nula cuando desaparece todo el A.
4 Apartado 6
t0=0;
tf=200;
h=0.01;
N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
K1=0.1; K2=K1; K3=K1/2;
for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h*(K1*A(i)*X(i)-K2*X(i)*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h*(K2*X(i)*Y(i)-K3*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h*(K3*Y(i));
A(i+1)= A(i)+h*(-K1*A(i)*X(i));
end
hold on
plot(t,A,'-r');
plot(t,X,'-g');
plot(t,Y,'-y');
plot(t,B,'-');
hold off
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Euler)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
legend('Concentración de A','Concentración de X', 'Concentración de Y', 'Concentración de B', 'location','east')t0=0;
tf=200;
h=0.001;
N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
A0=5;
X0=5*(10^-4);
Y0=10^(-5);
B0=0;
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
A(1)=A0;
X(1)=X0;
Y(1)=Y0;
B(1)=B0;
K1=0.1; K2=K1; K3=K1/2;
for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h*(K1*A(i)*X(i)-K2*X(i)*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h*(K2*X(i)*Y(i)-K3*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h*(K3*Y(i));
A(i+1)= A(i)+h*(-K1*A(i)*X(i));
end
hold on
plot(t,A,'-r');
plot(t,X,'-g');
plot(t,Y,'-y');
plot(t,B,'-');
hold off
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Euler)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
legend('Concentración de A','Concentración de X', 'Concentración de Y', 'Concentración de B', 'location','east')
5 Apartado 7
t0=0; tf=200;
h=0.01; N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
A0=5; X0=5*(10^-4); Y0=10^(-5); B0=0;
A=zeros(1,N+1);
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);
A(1)=A0; X(1)=X0; Y(1)=Y0; B(1)=B0;
aa=A0; xx=X0; yy=Y0; bb=B0;
K1=0.1; K2=K1; K3=K1/2;
for n=1:N
K1A=-K1*aa*xx;
K2A=K1A+K1A*h;
K1X=K1*aa*xx-K2*xx*yy;
K2X=K1X+K1X*h;
K1Y=K2*xx*yy-K3*yy;
K2Y=K1Y+K1Y*h;
K1B=K3*yy;
K2B=K1B+K1B*h;
aa=aa+0.5*h*(K1A+K2A);
xx=xx+0.5*h*(K1X+K2X);
yy=yy+0.5*h*(K1Y+K2Y);
bb=bb+0.5*h*(K1B+K2B);
A(n+1)=aa;
X(n+1)=xx;
Y(n+1)=yy;
B(n+1)=bb;
end
plot(t,A,'*r');
hold on
plot(t,X,'*g');
plot(t,Y,'*y');
plot(t,B,'*');
hold off
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Heun)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
legend('Concentración de A','Concentración de X', 'Concentración de Y', 'Concentración de B', 'location','best')
En la gráfica podemos ver como originalmente tenemos una alta concentración de A, que va transformándose, al principio lentamente y luego más rápido en X (alcanzando la máxima velocidad en torno a los 20 segundos cuando las concentraciones de A y X se igualan). A continuación, al compuesto X se transforma en Y, en una reacción de apenas 20 segundos, no llega a formarse una alta concentración de Y, en seguida empieza a decrecer su presencia transformándose en B, compuesto final, lo que se aprecia en la horizontalidad de la gráfica a la que llegamos una vez el contenido de Y ha desaparecido por completo.
