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Revisión del 11:39 26 feb 2015

Introducción

El objeto de estudio de nuestro trabajo es el modelo de expansión de una epidemia a lo largo de un tiempo. Usaremos las siguientes hipótesis:

1. La población (constante) se indicará como N en el que todos serán susceptibles a la enfermedad.
2. La duración de la enfermedad es larga de modo que los individuos no se recuperarán durante el periodo de estudio.
3. La unidad de tiempo escogida será la semana.
4. Durante cada unidad de tiempo cada persona infectada tiene c contactos.

1 Determinación del número de contactos c

El primer paso a realizar es determinar el número de contactos que tiene una persona infectada en la unidad de tiempo elegida, es decir, la semana. Emplearemos la siguiente ecuación diferencial que nos muestra el enunciado del trabajo:

[math] I'(t) = \frac{c}{N}I(t)(N-I(t)) [/math]

c es un número de dos decimales comprendido entre [math] 0.01 [/math] y [math] 0.99 [/math]. Siendo N igual a 500000 con las siguientes condiciones iniciales: [math] I(0)=200 [/math] y [math] I(1)=500 [/math] Para determinar c imponemos la siguiente condición, que [math] |I(1)-500| [/math] tenga el menor valor posible, es decir, aquel valor que minimice lo posible el error absoluto. Para hallar ese valor lo hallaremos numéricamente con el siguiente programa escrito en MATLAB:

y0 = 200; % Número inicial de infectados
y = []; 
c = 1/100:0.01:99/100; % Posibles valores de c
N = 500000; % Población total
k = length(c);
C_min = c(1);
Y = N;
for i = 1:k
   Y_final = Y;
   Y = N*y0/(y0+(N-y0).*exp(-c(i))); % Modelo para t=1
   y = [y Y];
   if abs(Y-500) <= abs(Y_final-500)
       C_min = c(i);
       end
  end
min(abs(y-500)) % Error mínimo absoluto cometido  
C_min
plot(c,abs(y-500),'r')

Al ejecutar el programa anteriormente escrito obtenemos el valor c minimizando así el error que será igual a [math] 0.92 [/math] Por otra parte hemos dibujado un gráfico para ver la variación del error para cada valor de c:

Evolución del error según los diferentes valores de c

2 Estudio de la evolución de la enfermedad

Una vez hallado el valor c vamos a estudiar cómo la enfermedad va evolucionando a lo largo de las semanas, para ello utilizaremos el método de Heun y Runge-Kutta.

2.1 Método de Heun

Es una aproximación de la solución exacta de una ecuación diferencial en el que se descompone la solución en dos soluciones más simples y se halla una función media de las dos anteriores, se calcula los siguientes elementos:

1. [math] K_{1}=f(t_{n},y_{n}) [/math]
2. [math] K_{2}=f(t_{n}+h,y_{n}+K_{1}h) [/math]
3. [math] y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{2}(K_{1}+K_{2}) [/math]

Siendo h la longitud de paso entre dos valores consecutivos

2.2 Método de Runge-Kutta

Sería similar al método de Heun pero se descompone en cuatro soluciones, se hace del siguiente modo:

1. [math] K_{1}=f(t_{n},y_{n}) [/math]
2. [math] K_{2}=f(t_{n}+\frac{h}{2},y_{n}+\frac{h}{2}K_{1}) [/math]
3. [math] K_{3}=f(t_{n}+\frac{h}{2},y_{n}+\frac{h}{2}K_{2}) [/math]
4. [math] K_{4}=f(t_{n}+h,y_{n}+K_{3}h) [/math]
5. [math] y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{6}(K_{1}+2K_{2}+2K_{3}+K_{4}) [/math]