|
|
| Línea 1: |
Línea 1: |
| − | Muchos modelos de vibraciones se modelizan con sistemas de
| |
| − | muelles y masas. Consideramos aquí un ejemplo simple formado por tres muelles y dos masas unidos
| |
| − | a dos paredes que se deslizan libremente sobre un plano horizontal, como se muestra en la figura:
| |
| | | | |
| − | [[Archivo: Resortemasa.jpg]]
| |
| − |
| |
| − | =='''Modelización del sistema de ecuaciones'''==
| |
| − | Modelizamos el sistema de ecuaciones diferenciales para el desplazamiento de ambas masas desde la posición de equilibrio. El sistema quedará en función de las posiciones de las masas, x1 y x2.
| |
| − | Suponemos que deslizan sobre una superficie horizontal y lisa, por lo que despreciamos la fuerza de rozamiento. Por tanto, las únicas fuerzas a tener en cuenta son las fuerzas que ejercen los muelles.
| |
| − | Según la Ley de Hooke, la fuerza ocasionada por un muelle es proporcional a su elongación.<br />
| |
| − | Así para nuestro sistema las fuerzas que actúan sobre la masa 1 son: :
| |
| − | <math> F1=-k1x1 </math> :
| |
| − | <math> F2=k2(x2-x1) </math>
| |
| − | Sobre la masa 2: :
| |
| − | <math> F3=-k2(x2-x1) </math> :
| |
| − | <math> F4=-k3x2 </math>
| |
| − | Donde k1, k2 y k3 son las constantes elásticas de cada muelle.
| |
| − |
| |
| − | Aplicando la segunda ley de Newton, <math> F=mx'' </math>, nos queda un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden:
| |
| − | <math> m1x1''=-k1x1+k2(x2-x1)</math>:
| |
| − | <math> m2x2''=-k2(x2-x1)-k3x2</math>
| |
| − |
| |
| − | =='''Resolución del sistema'''==
| |
| − | Suponemos:<br />
| |
| − | * Las masas m1=2kg, m2=1kg.<br />
| |
| − | * Las constantes de los muelles k1=4N/m, k2=2N/m, k3=1N/m.<br />
| |
| − | * Las posiciones en el equilibrio x1=2, X2=4.
| |
| − | El sistema que se obtiene :
| |
| − | <math> x1''=-3x1+x2</math>:
| |
| − | <math> x2''=2x1-3x2</math>
| |
| − | ===Supuesto 1===
| |
| − | Para t=0, se desplazan las masas 1 y 1,5 respectivamente y se sueltan repentinamente. Lo resolvemos mediante dos métodos.
| |
| − | ====''Método de Newmark''====
| |
| − | {{matlab| codigo=
| |
| − | clear all
| |
| − |
| |
| − | t0=0;
| |
| − | tN=10;
| |
| − | N=100;
| |
| − | h=(tN-t0)/N;
| |
| − | t=t0:h:tN;
| |
| − |
| |
| − | beta=1/4;
| |
| − | gamma=1/2;
| |
| − |
| |
| − | a1=-3; b1=0; c1=1; d1=0;
| |
| − | a2=2; b2=0; c2=-3; d2=0;
| |
| − |
| |
| − | A=[0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 0 0 ];
| |
| − | B=[a1 b1 c1 d1; 0 0 0 0; a2 b2 c2 d2; 0 0 0 0];
| |
| − | C=[0 0 0 0; a1 b1 c1 d1; 0 0 0 0; a2 b2 c2 d2];
| |
| − | D=((h^2)*beta)*B+(h*gamma)*C;
| |
| − | F=eye(4)-D;
| |
| − |
| |
| − | x10=1; z10=0; x20=1.5; z20=0;
| |
| − | X(:,1)=[x10; z10; x20; z20];
| |
| − | Y=X(:,1);
| |
| − |
| |
| − | for n=1:N
| |
| − | Y=(eye(4)+(h*A)+((h^2)*((1/2)-beta))*B+(h*(1-gamma))*C)*Y;
| |
| − | X(:,n+1)=F\Y;
| |
| − | Y=X(:,n+1);
| |
| − | end
| |
| − |
| |
| − | %Solución real
| |
| − | Y1=1/2*[((3*sqrt(2)+4)/4)*cos(sqrt(3-sqrt(2))*t)-((3*sqrt(2)-4)/4)*cos(sqrt(3+sqrt(2))*t)];
| |
| − | Y2=((3*sqrt(2)+4)/(4*sqrt(2)))*cos(sqrt(3-sqrt(2))*t)+((3*sqrt(2)-4)/(4*sqrt(2)))*cos(sqrt(3+sqrt(2))*t);
| |
| − |
| |
| − | %Representación gráfica
| |
| − | figure(1)
| |
| − | hold on
| |
| − | d=2+X(1,:);
| |
| − | e=4+X(3,:);
| |
| − | plot(d,t,'x')%Solución real
| |
| − | plot(e,t,'x')%Solución real
| |
| − | f=2+Y1;
| |
| − | g=4+Y2;
| |
| − | plot(f,t)%Solución aproximada
| |
| − | plot(g,t)%Solución aproximada
| |
| − | hold off
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | Obtenemos la siguiente gráfica tiempo-posición:
| |
| − |
| |
| − | [[Archivo:Newmark2.jpg]]
| |
| − | ====''Método Runge-Kutta''====
| |
| − | Para aplicar el Método de Runge-Kutta es necesario descomponer el sistema en cuatro ecuaciones de primer orden:
| |
| − | <math> x1'=z1</math>:
| |
| − | <math>z1'=x1''=-3x1+x2</math>:
| |
| − | <math>x2'=z2</math>:
| |
| − | <math>z2'=x2''=2x1-3x2</math>
| |
| − | {{matlab|codigo=
| |
| − | clear all
| |
| − |
| |
| − | t0=0;
| |
| − | tN=10;
| |
| − | N=100;
| |
| − | h=(tN-t0)/N;
| |
| − | t=t0:h:tN;
| |
| − |
| |
| − | A=[0 1 0 0;-3 0 1 0;0 0 0 1;2 0 -3 0];
| |
| − |
| |
| − | x01=1; z01=0; x02=1.5; z02=0;
| |
| − | x1(1)=x01; z1(1)=z01; x2(1)=x02; z2(1)=z02;
| |
| − | X=[x01;z01;x02;z02];
| |
| − |
| |
| − | for n=1:N
| |
| − | k1=A*X;
| |
| − | k2=A*(X+1/2*h*k1);
| |
| − | k3=A*(X+1/2*h*k2);
| |
| − | k4=A*(X+h*k3);
| |
| − | X=X+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
| |
| − | x1(n+1)=X(1);
| |
| − | z1(n+1)=X(2);
| |
| − | x2(n+1)=X(3);
| |
| − | z2(n+1)=X(4);
| |
| − | end
| |
| − |
| |
| − | %Solución real
| |
| − | Y1=1/2*[((3*sqrt(2)+4)/4)*cos(sqrt(3-sqrt(2))*t)-((3*sqrt(2)-4)/4)*cos(sqrt(3+sqrt(2))*t)];
| |
| − | Y2=((3*sqrt(2)+4)/(4*sqrt(2)))*cos(sqrt(3-sqrt(2))*t)+((3*sqrt(2)-4)/(4*sqrt(2)))*cos(sqrt(3+sqrt(2))*t);
| |
| − |
| |
| − | %Representación gráfica
| |
| − | figure(1)
| |
| − | hold on
| |
| − | d=2+x1;
| |
| − | e=4+x2;
| |
| − | plot(d,t,'x')%Solución real
| |
| − | plot(e,t,'x')%Solución real
| |
| − | f=2+Y1;
| |
| − | g=4+Y2;
| |
| − | plot(f,t)%Solución aproximada
| |
| − | plot(g,t)%Solución aproximada
| |
| − | hold off
| |
| − | }}
| |
| − | Obtenemos la siguiente gráfica tiempo-posición:
| |
| − |
| |
| − | [[Archivo:Rungekutta281.jpg ]]
| |
| − |
| |
| − | ====''Observaciones''====
| |
| − | Se observa que la gráfica es igual para ambos métodos. La diferencia a simple vista no se aprecia, pero Runge-Kutta es un método de cuarto orden y por tanto más preciso que el de Newmark, que es de segundo orden.
| |
| − | ===Supuesto 2===
| |
| − | En este caso, partimos de las masas en la posición de equilibrio y con velocidad inicial v=1m/s en el mismo sentido. Aplicamos ambos métodos de la misma forma, sólo cambian las condiciones iniciales.
| |
| − | ====''Método de Newmark''====
| |
| − | {{matlab|codigo=
| |
| − | clear all
| |
| − |
| |
| − | t0=0;
| |
| − | tN=10;
| |
| − | N=100;
| |
| − | h=(tN-t0)/N;
| |
| − | t=t0:h:tN;
| |
| − |
| |
| − | beta=1/4;
| |
| − | gamma=1/2;
| |
| − |
| |
| − | a1=-3; b1=0; c1=1; d1=0;
| |
| − | a2=2; b2=0; c2=-3; d2=0;
| |
| − |
| |
| − | A=[0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 0 0 ];
| |
| − | B=[a1 b1 c1 d1; 0 0 0 0; a2 b2 c2 d2; 0 0 0 0];
| |
| − | C=[0 0 0 0; a1 b1 c1 d1; 0 0 0 0; a2 b2 c2 d2];
| |
| − | D=((h^2)*beta)*B+(h*gamma)*C;
| |
| − | F=eye(4)-D;
| |
| − |
| |
| − | x10=0; z10=1; x20=0; z20=1;
| |
| − | X(:,1)=[x10; z10; x20; z20];
| |
| − | Y=X(:,1);
| |
| − |
| |
| − | for n=1:N
| |
| − | Y=(eye(4)+(h*A)+((h^2)*((1/2)-beta))*B+(h*(1-gamma))*C)*Y;
| |
| − | X(:,n+1)=F\Y;
| |
| − | Y=X(:,n+1);
| |
| − | end
| |
| − |
| |
| − | %Solución real
| |
| − | Y1=1/2*[((sqrt(2)+2)/(2*sqrt(3-sqrt(2))))*sin(sqrt(3-sqrt(2))*t)-((sqrt(2)-2)/(2*sqrt(3+sqrt(2))))*sin(sqrt(3+sqrt(2))*t)];
| |
| − | Y2=((sqrt(2)+2)/(2*sqrt(2)*sqrt(3-sqrt(2))))*sin(sqrt(3-sqrt(2))*t)+((sqrt(2)-2)/(2*sqrt(2)*sqrt(3+sqrt(2))))*sin(sqrt(3+sqrt(2))*t);
| |
| − |
| |
| − | %Representación gráfica
| |
| − | figure(1)
| |
| − | hold on
| |
| − | d=2+X(1,:);
| |
| − | e=4+X(3,:);
| |
| − | plot(d,t,'x')%Solución real
| |
| − | plot(e,t,'x')%Solución real
| |
| − | f=2+Y1;
| |
| − | g=4+Y2;
| |
| − | plot(f,t)%Solución aproximada
| |
| − | plot(g,t)&Solución aproximada
| |
| − | hold off
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | Obteniendo la gráfica tiempo-posición:
| |
| − |
| |
| − | [[archivo: Newmark3a.jpg ]]
| |
| − | ====''Método de Runge-Kutta''====
| |
| − | {{matlab| codigo=
| |
| − | clear all
| |
| − |
| |
| − | t0=0;
| |
| − | tN=10;
| |
| − | N=100;
| |
| − | h=(tN-t0)/N;
| |
| − | t=t0:h:tN;
| |
| − |
| |
| − | A=[0 1 0 0;-3 0 1 0;0 0 0 1;2 0 -3 0];
| |
| − |
| |
| − | x01=0; z01=1; x02=0; z02=1;
| |
| − | x1(1)=x01; z1(1)=z01; x2(1)=x02; z2(1)=z02;
| |
| − | X=[x01;z01;x02;z02];
| |
| − |
| |
| − | for n=1:N
| |
| − | k1=A*X;
| |
| − | k2=A*(X+1/2*h*k1);
| |
| − | k3=A*(X+1/2*h*k2);
| |
| − | k4=A*(X+h*k3);
| |
| − | X=X+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
| |
| − | x1(n+1)=X(1);
| |
| − | z1(n+1)=X(2);
| |
| − | x2(n+1)=X(3);
| |
| − | z2(n+1)=X(4);
| |
| − | end
| |
| − |
| |
| − | %Solución real
| |
| − | Y1=1/2*[((sqrt(2)+2)/(2*sqrt(3-sqrt(2))))*sin(sqrt(3-sqrt(2))*t)-((sqrt(2)-2)/(2*sqrt(3+sqrt(2))))*sin(sqrt(3+sqrt(2))*t)];
| |
| − | Y2=((sqrt(2)+2)/(2*sqrt(2)*sqrt(3-sqrt(2))))*sin(sqrt(3-sqrt(2))*t)+((sqrt(2)-2)/(2*sqrt(2)*sqrt(3+sqrt(2))))*sin(sqrt(3+sqrt(2))*t);
| |
| − |
| |
| − | %Representación gráfica
| |
| − | figure(1)
| |
| − | hold on
| |
| − | d=2+x1;
| |
| − | e=4+x2;
| |
| − | plot(d,t,'x')%Solución real
| |
| − | plot(e,t,'x')%Solución real
| |
| − | f=2+Y1;
| |
| − | g=4+Y2;
| |
| − | plot(f,t)%Solución aproximada
| |
| − | plot(g,t)%Solución aproximada
| |
| − | hold off
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | Obteniendo la gráfica tiempo-posición:
| |
| − |
| |
| − | [[archivo: Rungekutta3a8.jpg ]]
| |
| − | ===Supuesto 3===
| |
| − | En este caso, partimos de las masas en la posición de equilibrio y con velocidad inicial v=1m/s en sentidos opuestos. Aplicamos ambos métodos de la misma forma, sólo cambian las condiciones iniciales.
| |
| − | ====''Método de Newmark''====
| |
| − | {{matlab|codigo=
| |
| − | clear all
| |
| − |
| |
| − | t0=0;
| |
| − | tN=10;
| |
| − | N=100;
| |
| − | h=(tN-t0)/N;
| |
| − | t=t0:h:tN;
| |
| − |
| |
| − | beta=1/4;
| |
| − | gamma=1/2;
| |
| − |
| |
| − | a1=-3; b1=0; c1=1; d1=0;
| |
| − | a2=2; b2=0; c2=-3; d2=0;
| |
| − | A=[0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 0 0 ];
| |
| − | B=[a1 b1 c1 d1; 0 0 0 0; a2 b2 c2 d2; 0 0 0 0];
| |
| − | C=[0 0 0 0; a1 b1 c1 d1; 0 0 0 0; a2 b2 c2 d2];
| |
| − | D=((h^2)*beta)*B+(h*gamma)*C;
| |
| − | F=eye(4)-D;
| |
| − |
| |
| − | x10=0; z10=1; x20=0; z20=-1;
| |
| − | X(:,1)=[x10; z10; x20; z20];
| |
| − | Y=X(:,1);
| |
| − |
| |
| − | for n=1:N
| |
| − | Y=(eye(4)+(h*A)+((h^2)*((1/2)-beta))*B+(h*(1-gamma))*C)*Y;
| |
| − | X(:,n+1)=F\Y;
| |
| − | Y=X(:,n+1);
| |
| − | end
| |
| − |
| |
| − | %Solución real
| |
| − | Y1=1/2*[((-sqrt(2)+2)/(2*sqrt(3-sqrt(2))))*sin(sqrt(3-sqrt(2))*t)-((-sqrt(2)-2)/(2*sqrt(3+sqrt(2))))*sin(sqrt(3+sqrt(2))*t)];
| |
| − | Y2=((-sqrt(2)+2)/(2*sqrt(2)*sqrt(3-sqrt(2))))*sin(sqrt(3-sqrt(2))*t)+((-sqrt(2)-2)/(2*sqrt(2)*sqrt(3+sqrt(2))))*sin(sqrt(3+sqrt(2))*t);
| |
| − |
| |
| − | %Representación gráfica
| |
| − | figure(1)
| |
| − | hold on
| |
| − | d=2+X(1,:);
| |
| − | e=4+X(3,:);
| |
| − | plot(d,t,'x')%Solución real
| |
| − | plot(e,t,'x')%Solución real
| |
| − | f=2+Y1;
| |
| − | g=4+Y2;
| |
| − | plot(f,t)%Solución aproximada
| |
| − | plot(g,t)%Solución aproximada
| |
| − | hold off
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | Obteniendo la gráfica tiempo-posición:
| |
| − |
| |
| − | [[archivo: Newmark3b.jpg ]]
| |
| − | ====''Método de Runge-Kutta''====
| |
| − | {{matlab|codigo=
| |
| − | clear all
| |
| − | t0=0;
| |
| − | tN=10;
| |
| − | N=100;
| |
| − | h=(tN-t0)/N;
| |
| − | t=t0:h:tN;
| |
| − |
| |
| − | A=[0 1 0 0;-3 0 1 0;0 0 0 1;2 0 -3 0];
| |
| − |
| |
| − | x01=0; z01=1; x02=0; z02=-1;
| |
| − | x1(1)=x01; z1(1)=z01; x2(1)=x02; z2(1)=z02;
| |
| − | X=[x01;z01;x02;z02];
| |
| − |
| |
| − | for n=1:N
| |
| − | k1=A*X;
| |
| − | k2=A*(X+1/2*h*k1);
| |
| − | k3=A*(X+1/2*h*k2);
| |
| − | k4=A*(X+h*k3);
| |
| − | X=X+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
| |
| − | x1(n+1)=X(1);
| |
| − | z1(n+1)=X(2);
| |
| − | x2(n+1)=X(3);
| |
| − | z2(n+1)=X(4);
| |
| − | end
| |
| − |
| |
| − | %Solución real
| |
| − | Y1=1/2*[((-sqrt(2)+2)/(2*sqrt(3-sqrt(2))))*sin(sqrt(3-sqrt(2))*t)-((-sqrt(2)-2)/(2*sqrt(3+sqrt(2))))*sin(sqrt(3+sqrt(2))*t)];
| |
| − | Y2=((-sqrt(2)+2)/(2*sqrt(2)*sqrt(3-sqrt(2))))*sin(sqrt(3-sqrt(2))*t)+((-sqrt(2)-2)/(2*sqrt(2)*sqrt(3+sqrt(2))))*sin(sqrt(3+sqrt(2))*t);
| |
| − |
| |
| − | %Representación gráfica
| |
| − | figure(1)
| |
| − | hold on
| |
| − | d=2+x1;
| |
| − | e=4+x2;
| |
| − | plot(d,t,'x')%Solución real
| |
| − | plot(e,t,'x')%Solución real
| |
| − | f=2+Y1;
| |
| − | g=4+Y2;
| |
| − | plot(f,t)%Solución aproximada
| |
| − | plot(g,t)%Solución aproximada
| |
| − | hold off
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | Obteniendo la gráfica tiempo-posición:
| |
| − |
| |
| − | [[archivo: Rungekutta3b8.jpg ]]
| |
| − | =='''Sistema de una masa'''==
| |
| − | Suponemos ahora que el sistema tiene una masa, es decir desenganchamos la masa 2 de manera que nos queda un muelle y una masa. Suponemos también que el sistema está sumergido en un medio viscoso que provoca un amortiguamiento proporcional a la velocidad de la masa con coeficiente c=1.
| |
| − | Modelizamos este sistema con los mismos parámetros para la masa y el muelle. Nos queda la ecuación:
| |
| − | <math>x''=-(1/2)x'-2x</math>
| |
| − | ===''Método de Newmark''===
| |
| − | {{matlab|codigo=
| |
| − | clear all
| |
| − |
| |
| − | t0=0;
| |
| − | tN=10;
| |
| − | N=1000;
| |
| − | h=(tN-t0)/N;
| |
| − | t=t0:h:tN;
| |
| − |
| |
| − | beta=1/4;
| |
| − | gamma=1/2;
| |
| − |
| |
| − | A=[1+2*h^2*beta h^2*beta/2; 2*gamma*h 1+gamma*h/2];
| |
| − | B=[1+h^2+2*h^2*beta h-(h^2)/4+(1/2)*h^2*beta; -2*h+2*gamma*h 1-h/2+gamma*h/2];
| |
| − |
| |
| − | y0=0; z0=1;
| |
| − | y(1)=y0; z(1)=z0;
| |
| − | Y=[y(1);z(1)];
| |
| − |
| |
| − | for n=1:N
| |
| − | Y=A\(B*Y);
| |
| − | y(n+1)=Y(1);
| |
| − | z(n+1)=Y(2);
| |
| − | end
| |
| − |
| |
| − | figure(1)
| |
| − | d=2+y;
| |
| − | plot(d,t);
| |
| − | hold on
| |
| − | }}
| |
| − |
| |
| − | Obteniendo la gráfica tiempo-posición:
| |
| − |
| |
| − | [[archivo: Newmark4.jpg ]]
| |
| − | ===''Método de Runge-Kutta''===
| |
| − | Descomponemos la ecuación de segundo orden en dos ecuaciones de primer orden, quedando el sistema:
| |
| − | <math>x'=z</math>:
| |
| − | <math>z'=x''=-2x-(1/2)z</math>
| |
| − | {{matlab|codigo=
| |
| − | clear all
| |
| − |
| |
| − | t0=0;
| |
| − | tN=10;
| |
| − | N=1000;
| |
| − | h=(tN-t0)/N;
| |
| − | t=t0:h:tN;
| |
| − |
| |
| − | A=[0 1; -2 -1/2];
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| − |
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| − | x01=0; z01=1;
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| − | x1(1)=x01; z1(1)=z01;
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| − | X=[x01;z01];
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| − |
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| − | for n=1:N
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| − | k1=A*X;
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| − | k2=A*(X+1/2*h*k1);
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| − | k3=A*(X+1/2*h*k2);
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| − | k4=A*(X+h*k3);
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| − | X=X+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
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| − | x1(n+1)=X(1);
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| − | z1(n+1)=X(2);
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| − | end
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| − |
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| − | figure(1)
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| − | hold on
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| − | d=2+x1;
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| − | plot(d,t)
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| − | hold off
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| − | }}
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| − | Obteniendo la gráfica tiempo-posición:
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| − | [[archivo:Rungekutta482.jpg ]]
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| − | ===''Energía mecánica''===
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| − | Estudiamos ahora la evolución de la energía mecánica en el tiempo.
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| − | La fórmula general es:
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| − | <math> E=Ec+Ep=(1/2)mx'^2+(1/2)kx^2</math>
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| − | Particularizando en este caso:
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| − | <math>E=x'^2+2x^2=z^2+2x^2</math>
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| − | Utilizamos la solución del Runge-Kutta anterior y obtenemos la gráfica energía-tiempo en escala logarítmica:
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| − | [[archivo:Energia6585.jpg]]
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| − | Al incrementar el coeficiente de amortiguamiento "c", la energía decae más rápidamente. Esto se debe a que cuanto mayor es la viscosidad del medio, más rápido se disipa la energía, volviendo antes la masa a la posición de equilibrio.
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| − | <br />
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| − | --[[Usuario:Belen.jn|Belen.jn]] ([[Usuario discusión:Belen.jn|discusión]]) 14:45 4 mar 2013 (CET)
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