Diferencia entre revisiones de «Circuitos RL (Grupo 2)»

Revisión del 05:13 5 mar 2013

1 CIRCUITOS ELÉCTRICOS

El circuito eléctrico RL más simple tiene un inductor o bobina, una resistencia y una fuente de alimentación.

• En una resistencia R la ley de Ohm establece:: [math]i(t) = \frac{v(t)}{R}[/math]

donde i(t)=intesidad de corriente (A), v(t)=voltaje (V), R=coeficiente de resistencia (Ω).

• En un inductor L, la ley de Faraday establece:: [math]v(t) = L\frac{d}{d_t}i(t)[/math]

donde L=coeficiente de autoinducción (H).

Las leyes de Kirchoff establecen el comportamiento de los circuitos:

1. Ley de corriente: en cada nodo la suma de corrientes que entra coincide con la suma de corrientes que sale.
2. Ley de tensiones: en cada ciclo cerrado, la suma de la diferencias de potencial eléctrico es nula.

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Circuito simple (malla 1)

1.1 1. Ecuación diferencial.

A partir de las leyes anteriores, se puede afirmar que en el circuito más simple RL, la intensidad que pasa tanto por la resistencia como por la bobina es la misma. Por este motivo, el voltaje de las resistencias varía, pues éstas tienen valores distintos.

Partiendo de la afirmación anterior, se confirma que:

[math]i(t)=i_L=i_R[/math]

[math]E(t)=E_L+E_R[/math]

y teniendo en cuenta que la inductancia L se rige por la ley de Faraday y que la resistencia R se rige por la de Ohm, se obtiene la siguiente ecuacióndiferencial:

[math]E(t)=L\frac{d}{dt}i(t)+R\cdot i(t)[/math]

1.2 2 y 3. Método de Euler / Trapecio

Suponiendo que en el instante t = 0 el circuito pasa de estar abierto a cerrado, que el voltaje E(t)=Eo la intensidad se calcula integrando la ecuacióndiferencial lineal:

[math]L\frac{d}{dt}i(t)+R\cdot i=E_0 \hspace{0.5cm} \rightarrow \hspace{0.5cm} [/math] [math]i'(t)+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E}{L} \hspace{0.5cm} \rightarrow \hspace{0.5cm} [/math] [math]i \cdot e^{\int{\frac{R}{L}dt}} = \int{e^{\frac{R \cdot t}{L}}dt} \hspace{0.5cm} \rightarrow \hspace{0.5cm} [/math] [math]i \cdot e^{\frac{R \cdot t}{L}} = \frac{E}{R}e^{\frac{R \cdot t}{L}}+C[/math]

Obteniendo finalmente:: [math]i(t) = \frac{E}{R} + C \cdot e^{\frac{-R \cdot t}{L}}[/math]
En t=0, el circuito está cerrado:: [math]i(0)=0 \Rightarrow C= - \frac{E}{R}[/math] Como condiciones iniciales, se tiene que, E(t) = 10V, L = 0.2 y R = 5, y por tanto la intensidad sería:[math]i(t)=\frac{E}{R}(1-e^{-\frac{R \cdot t}{L}}) = 2 \cdot (1-e^{-25t})[/math]
Para aplicar los métodos numéricos, despejamos la intensidad de la ecuación diferencial fundamental:[math]f(i) = - \frac{R}{L}i+ \frac{E}{L} = -25i+50[/math]

• Método de Euler:
  
  [math]i_{n+1} = i_n + h \cdot f(i_n) = i_n+h(\frac{-R}{L}\cdot i_n + \frac{E}{L}) = (1-h \cdot \frac{R}{L}) \cdot i_n + h\frac{E}{L} = (1-25h)\cdot i_n + 50h[/math]
  [math]i_0=0[/math]

• Método del Trapecio:
  
  [math]i_{n+1}=i_n + \frac{h}{2}\cdot (f(i_n)+f(i_{n+1})) = i_n + \frac{h}{2}\cdot (-25i_n+50-25i_{n+1}+50)[/math]
  
  [math]i_{n+1}\cdot (1+\frac{25h}{2}) = (1-\frac{25h}{2})\cdot i_n+50h[/math]
  
  [math]i_{n+1} = \frac{2-25h}{2+25h} \cdot i_n + \frac{100h}{2+25h}[/math]
  
  [math]Trap.=\begin{cases} i_{n+1} = \frac{2-25h}{2+25h} \cdot i_n + \frac{100h}{2+25h} \\ i_0=0 \end{cases}[/math]

• Otras condiciones iniciales:
  
  En este apartado, resolviendo la ecuación diferencial homogénea asociada a la obtenida en el apartado 1 y con la condición inicial i(0)=2A, obtenemos::

[math]i(t) = 2\cdot (1-e^{-25t})[/math]Interpretación: observamos al ser la función exponencial que la intensidad decrece rápidamente al abrir el circuito hasta prácticamente 0 en un intervalo de tiempo ínfimo.

MATLAB

% Exacta y aproximaciónEuler y trapecio 
% Ecuación (1) : SE ABRE:i’=-(R/L)i+(E/L) // i(0)=0
% R=5 ohm, L=0.2H, E=10V; tau=L/R (=0.04s);
% Sol. Exacta:i(t)=i0+(E/R)*(1-exp(t/tau)); Se cierra
% Ecuación (2): SE CIERRA: i’=-(R/L)i// i(0)=i0
% Exacta: i(t)=i0*exp(-t/tau)
 
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R=5; L=0.2; E=10; tau=L/R;
% EXACTA
t0=0; tN=10*tau;
% N=20;
% h=(tN-t0)/N;
% Para que Euler seaestable, cogemos una h muy pequeña: h=1e-2;
h=1e-2;
N=(tN-t0)/h;
t=t0:h:tN;
I_on=2*(1-exp(-t/tau));
I_off=2*exp(-t/tau);
 
i0=0;
i_eul(1)=i0;
i_trap(1)=i0;
for n=1:N
    i_eul(n+1)=(1-25*h)*i_eul(n)+50*h;
    i_trap(n+1)=(1/(1+(25/2)*h))*(((1-(25/2)*h))*i_trap(n)+50*h);
end
 
% Dibujamos
figure(1) %apartado_2
hold on
plot (t, I_on, 'b')
plot (t, i_eul, 'xm')
plot (t, i_trap, 'og')
hold off
figure(2) % apartado_3
plot (t, I_off, 'b')

Para que el método de Euler sea estable, la h (paso) elegida debe ser muy pequeña, del orden de 10^-2. Como observamos en la siguiente figura, si tomamos un paso del orden de 0.1 el método de Euler deja de funcionar.

Circuito completo