Diferencia entre revisiones de «Sistemas resorte-masa»
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Para aplicar el método de Newmark lo primero que se debe hacer es introducir dos nuevas variables “u” y “v” que serán igual a las velocidades (derivada primera de x e y). A continuación aplicamos las fórmulas del método de Newmark dadas para cada variable, obteniendo 4 ecuaciones en las que solo aparece la primera derivada. | Para aplicar el método de Newmark lo primero que se debe hacer es introducir dos nuevas variables “u” y “v” que serán igual a las velocidades (derivada primera de x e y). A continuación aplicamos las fórmulas del método de Newmark dadas para cada variable, obteniendo 4 ecuaciones en las que solo aparece la primera derivada. | ||
| + | <math>x_{n+1} = x_n + hz_n + h^2(βf_n+1 + (1/2 - β)f_n)\\y_{n+1} = y_n + hz_n + h^2(βf_n+1 + (1/2 - β)f_n)\\u_{n+1} = u_n + h(γf_(n+1) + (1 - γ)f_n)\\v_{n+1} = v_n + h(γf_(n+1) + (1 - γ)f_n)</math> | ||
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Revisión del 01:24 5 mar 2013
Contenido
1 Sistemas resorte-masa
Consideremos un sistema formado por dos masas ancladas a la pared por los muelles de constantes k1 y k3, y unidos entre ellos por otro de constante k2, tal y como se indica en el dibujo.
El objetivo será deducir las ecuaciones del movimiento de cada masa. Para ello, establecemos dos parámetros “x” e “y” que nos indican los desplazamientos de las masas respecto de su posición de equilibrio respectivamente. (NOTA: Tomaremos el desplazamiento positivo hacia la derecha). Aplicando las ecuaciones de la mecánica clásica (Newton- Euler), tenemos que:
[math]\left\{\begin{matrix}m_{1}\ddot x=k_{2}(y-x)-k_{1}x\\m_{2}\ddot y=-k_{3}y-k_{2}(y-x)\end{matrix}\right.[/math]
2 Aproximación de la posición mediante métodos numéricos
Para aplicar tanto Runge-Kutta como Newmark necesitamos un sistema de ecuaciones donde sólo haya derivadas primeras, para ello hacemos los siguientes cambios de variable:
[math]\dot x=u[/math]: [math]\dot y=v[/math]
Y así obtenemos el sistema: [math]\left\{\begin{matrix}m_{1}\ddot x=k_{2}(y-x)-k_{1}x\\m_{2}\ddot y=-k_{3}y-k_{2}(y-x)\\\dot x=u\\\dot y=v\end{matrix}\right.[/math]
3 Método Runge-Kutta
Para poder aplicar el método necesitamos pasar el sistema de ecuaciones a uno matricial, obteniendo así M
4 Método de Newmark
Para aplicar el método de Newmark lo primero que se debe hacer es introducir dos nuevas variables “u” y “v” que serán igual a las velocidades (derivada primera de x e y). A continuación aplicamos las fórmulas del método de Newmark dadas para cada variable, obteniendo 4 ecuaciones en las que solo aparece la primera derivada.
[math]x_{n+1} = x_n + hz_n + h^2(βf_n+1 + (1/2 - β)f_n)\\y_{n+1} = y_n + hz_n + h^2(βf_n+1 + (1/2 - β)f_n)\\u_{n+1} = u_n + h(γf_(n+1) + (1 - γ)f_n)\\v_{n+1} = v_n + h(γf_(n+1) + (1 - γ)f_n)[/math]
Ahora
5 MATLAB code
{{matlab|codigo= % Euler method to solve the logistic equation y'=y(1-y) clear all; t0=0; tN=4; % initial and final time y0=1/10; % value of y at time t=0 N=40; % Number of intervals h=(tN-t0)/40; % Time step h yy=y0; % yy -> variable with the solution at each time step y(1)=yy; % y -> vector where we store the solution for n=1:N
yy=yy+h*yy*(1-yy); % numerical scheme y(n+1)=yy; % store the solution
end x=t0:h:tN; % Draw the solution plot(x,y,'x'); }
