Diferencia entre revisiones de «Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)»

Revisión del 17:38 18 may 2014

1 Modelización de problema

El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma: [math] \rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t\gt0; [/math]

[math]\rho=\rho(x,t)[/math] = densidad lineal de la cuerda.
[math]Z=Z(x,t)[/math] = tracción o tensión.
[math]c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}[/math] = celeridad.

Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida:: [math] u(0,t)=g_{1}(t)\\ u(L,t)=g_{2}(t) [/math]

[math]g_{1}(t)[/math] y [math]g_{2}(t)[/math] = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda.

A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos:: [math] u(x,0)=A(x)\\ u_{t}(x,0)=B(t)\\ [/math]

[math]A(x)[/math] = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial [math]x=x_{0}[/math].
[math]B(t)[/math] = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento[math]t=t_{0}[/math].

En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud [math]L = 10m[/math] sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma:

Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.

Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

[math] \begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t\gt0\\ \begin{cases} u(0,t)=0\\ u(10,t)=0\\ \end{cases}\\ \begin{cases} u(x,0)=0\\ u_{t}(x,0)=0\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ [/math]
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos:
[math]EDP[/math]: Cuerda homogénea de densidad lineal [math]/rho=1[/math] y tracción [math]Z=1[/math], por tanto tenemos también una celeridad de [math]c=1[/math], no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que [math]f(x,t)=0[/math] y la cuerda ocupa un intervalo de [math][0,10]m[/math].
[math]CC[/math]: Ambos extremos al estar empotrados están a cota [math]x=0[/math].
[math]CI[/math]: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, [math]u(x,0)=0[/math] así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, [math]u_{t}(x,0)=0[/math].

2 Desplazamiento vertical del cable

2.1 Método del Trapecio

Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar. Aproximar [math]u(x; t)[/math] por el método de diferencias finitas con [math]Δx = 0.1[/math], y usar el método del trapecio tomando [math]Δx = Δt[/math]. Dibujar la solución en tiempo [math]t ɛ [0,40][/math]

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end


% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)

2.2 Método de Euler Explícito

Con las mismas condiciones que mediante el método del trapecio, realizamos la modelización a de nuestro sistema mediante Euler Explicito:

%Metodo Euler explicito
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));
U(1,:)=[0, [W0(1:N-1)]',0];

for n=1:length(t)-1
WW=WW+dt*M*WW;
U(n+1,:)=[0, [WW(1:N-1)]',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)

2.3 Método de Euler Modificado

De la misma forma se realizará para el Euler modificado:

%Metodo de Euler Modificado
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));
U(1,:)=[0, [W0(1:N-1)]',0];


for n=1:length(t)-1
k1=M*WW;
WW=(eye(2*N-2)+dt*M/2)*WW+(dt/2)*k1+(dt^2)*M*k1/2;
U(n+1,:)=[0, [WW(1:N-1)]',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(3)
surf(xx,tt,U)

2.4 Comparación de Métodos

La comparación de los Métodos del Trapecio, Euler explicito y Euler modificado dejan ver.................................................

2.5 Método de Fourier

% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=5;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/10)*x);
fp(i)=trapz(x,p.*u0)/trapz(x,p.*p);
end

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=0;

% Fourier
for j=1:k
sol=sol+fp(j);
end

% Dibujamos la solución
figure(5)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

3 Energía del cable

Por medio de la fórmula de la energía del cable:: [math]E(t)=\int^{L}_{0} (u^{2}_{t}(x,t)+(u^{2}_{x}(x,t)) dx[/math] Obtenemos las gráficas en las que nos apoyamos para determinar el valor de la energía, si ésta se conserva en el tiempo,..

% Calculamos la energía 
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);


for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,ux.^2);

figure(2)
plot(E,t)

3.1 Cable sumergido en medio viscoso

Al introducir el cable en un medio viscoso, se introduce una variable nueva hasta ahora desconocida que modifica nuestra ley de movimiento:: [math] u_{tt}-u_{xx}+au_t=0[/math]
[math]a[/math] = constante que depende del amortiguamiento que produce el medio.

Nosotros trabajaremos entonces para [math]a=0,1,4,10,100[/math] obteniendo una comparativa de todas en la siguiente gráfica:

3.2 Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo

Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia [math]F_0[/math] bajo la función [math]f(t)=sin(2*pi*F_0*t)[/math]. Para lo que consideraremos[math]F_0=\frac{1}{L}+0.01[/math], que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo [math]t∈[0,60][/math].
En este caso varía la CI del extremo derecho, pasando el problema a ser:

[math] \begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t∈[0,60]\\ u(0,t)=0\\ u(10,t)=sin(2*pi*F_0*t)\\ u(x,0)=0\\ u_{t}(x,0)=0\\ \end{cases}\\ [/math]

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Diferencias finitas
% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;

% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end


% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)


% Calculamos la energía 
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux']; 
end


E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)

3.3 Cable sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe

Nuestro extremo derecho del cable está ahora sujeto a un aparato que envía una respuesta a la vibración que recibe [math]u_x(L,t)=bu(L,t)[/math]. Bajo las mismas CI, condiciones iniciales, que se aplicaron al método del trapecio, calculamos el comportamiento de la energía para [math]b=2[/math] y [math]b=-2[/math]