Diferencia entre revisiones de «Difusión de un contaminante. Grupo 4»
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Suponemos que el tubo es delgado y que su superficie lateral es aislante, de forma que el contaminante no sale de él, ni puede entrar desde el exterior. Podemos entonces pensar que la concentración es constante a lo largo de cada sección transversal, y ver el tubo como un objeto unidimensional. La concentración va a depender entonces de x y t. Designamos por u(x, t) la concentración de contaminante en la sección de la varilla que dista <math>x ≥ 0</math> del extremos <math>x = 0</math> cuando ha pasado un tiempo <math>t ≥ 0</math>. | Suponemos que el tubo es delgado y que su superficie lateral es aislante, de forma que el contaminante no sale de él, ni puede entrar desde el exterior. Podemos entonces pensar que la concentración es constante a lo largo de cada sección transversal, y ver el tubo como un objeto unidimensional. La concentración va a depender entonces de x y t. Designamos por u(x, t) la concentración de contaminante en la sección de la varilla que dista <math>x ≥ 0</math> del extremos <math>x = 0</math> cuando ha pasado un tiempo <math>t ≥ 0</math>. | ||
| − | Tomemos un trozo de tubo entre las secciones x y x + ∆x, que designaremos | + | Tomemos un trozo de tubo entre las secciones x y x + <math>∆x</math>, que designaremos |
por [x, x + ∆x]. Suponemos que ∆x es una cantidad muy pequeña. | por [x, x + ∆x]. Suponemos que ∆x es una cantidad muy pequeña. | ||
Revisión del 22:39 15 may 2014
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Difusión de un contaminante. Grupo 4 |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2013-14 |
| Autores | Sandra Carrillo del Cura 81, Sergio Castillo Herrero 85, Andrea García Prieto 171, Patricia González Peinado 198, Adrián Salas Calvo 385 |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Modelización del problema
Consideramos un tubo de longitud L de un cierto material, con sección transversal A constante. La orientamos en la dirección del eje x, de [math]x = 0[/math] a [math]x = L[/math]. Consideramos una solución compuesta por dos sustancias, de las cuales una de ellas es un contaminante. La sustancia se propaga por el interior de dicho tubo.
Suponemos que el tubo es delgado y que su superficie lateral es aislante, de forma que el contaminante no sale de él, ni puede entrar desde el exterior. Podemos entonces pensar que la concentración es constante a lo largo de cada sección transversal, y ver el tubo como un objeto unidimensional. La concentración va a depender entonces de x y t. Designamos por u(x, t) la concentración de contaminante en la sección de la varilla que dista [math]x ≥ 0[/math] del extremos [math]x = 0[/math] cuando ha pasado un tiempo [math]t ≥ 0[/math].
Tomemos un trozo de tubo entre las secciones x y x + [math]∆x[/math], que designaremos por [x, x + ∆x]. Suponemos que ∆x es una cantidad muy pequeña.
Designamos por φ(x, t) el flujo de contaminante, es decir, la cantidad de contaminante que fluye por unidad de tiempo y unidad de área. Como la superficie lateral del tubo está aislada, solamente habría flujo en la dirección del eje X. Si φ (x, t) > 0 pensamos que el flujo va hacia la derecha, si φ (x, t) <0 va hacia la izquierda. El flujo de contaminante en [x, x + ∆x] está dado por φ (x, t)A − φ (x + ∆x, t)A.
Designamos por f(x, t) a la concentración de soluto generada por posibles fuentes o sumideros, por unidad de volumen y unidad de tiempo. En el caso de este problema no existen ni fuentes ni sumideros, por lo tanto f(x)=0.
La ley de Flick (análoga a la de Fourier para la temperatura) dice: F=-D ∂u/∂x
Flick demostró empíricamente que φ(x,t)≅-D (u(x+∆x,t)-u(x,t))/∆x De aquí se deduce la anteriormente citada ley cuando suponemos que ∆x tiende a 0.
Si suponemos que ∆x > 0 y la concentración en un tiempo t es mayor en x + ∆x que en x, entonces u(x + ∆x) − u(x, t) > 0, y si ∆x es pequeño, se tiene ux(x,t)>0, y φ (x, t) será negativo y el flujo irá hacia la izquierda.
Si suponemos que ∆x > 0 y la concentración en un tiempo t es menor en x + ∆x que en x, entonces u(x + ∆x) − u(x, t) < 0, y si ∆x es pequeño, se tiene ux(x,t)<0, y φ (x, t) será positivo y el flujo de calor irá hacia la derecha.
La constante D es el coeficiente de difusión medido en m^2/s, que depende de las propiedades físicas de los compuestos. Este coeficiente D puede depender de x si las condiciones físicas varían en las distintas partes de la sección del tubo. También, en principio, podría depender del tiempo. Supondremos que no, pues en caso contrario el problema en términos matemáticos se complica bastante. La supondremos constante e igual a 1.
Utilizando la ley de Flick, la concentración en la sección transversal del tubo que dista x del extremo x = 0 cuando ha pasado un tiempo t, u(x, t), satisface
u_t (x,t)=∂/∂x Du_x+f(x,t) x ∈(0,L),t>0
es decir, la ecuación en derivadas parciales
u_t=∂/∂x Du_x+f(x,t) u_t-Du_xx=f(x,t)
Como hemos señalado anteriormente f(x,t)=0 y D=1
u_t-u_xx=0 Obtenemos de esta forma una ecuación de difusión similar a la del calor.
2 Planteamiento del sistema
El sistema de ecuaciones que debe satisfacer u(x,t) para que el problema esté bien propuesto es el siguiente:
- [math] \left\{\begin{matrix}\\u_t-Du_{xx}=0\\u_x(0,t)=0\\u_x(L,t)=0\\u(x,0)=u_0\end{matrix}\right. [/math]
Supondremos D constante e igual a 1
3 Resolución numérica del sistema
Método de diferencias finitas con ∆x=0.1 suponiendo que en el instante inicial se verifica:
- [math] u(x,0)=\left\{\begin{matrix}\\0, x≤3\\3, x\gt3\end{matrix}\right. [/math]
3.1 Método del trapecio
3.2 Método de Euler explícito
3.3 Método de Euler implícito
3.4 Método de Euler modificado
4 Conservación de la masa total de contaminante
[math]\frac d {dt} \int_0^5 u(x,t)\,dx= \int_0^5 u_{xx}(x,t)\,dx= u_x(x,t)|_0^5=0[/math]
Para comprobar que la masa se conserva resolvemos la integral
