Diferencia entre revisiones de «Difusión de una sustancia contaminante (Grupo 3B)»
| Línea 1: | Línea 1: | ||
| − | {{ TrabajoED | Difusión de una sustancia contaminante. Grupo 3B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | | + | {{ TrabajoED | Difusión de una sustancia contaminante. Grupo 3B | [[:Categoría:Ecuaciones Diferenciales|Ecuaciones Diferenciales]]|[[:Categoría:ED13/14|Curso 2013-14]] | María Bartol Calderón |
| − | + | Rodrigo Bellot Rodríguez | |
| − | Margarita Santiago Ruiz | + | Margarita Santiago Ruiz |
| − | + | Rocío Santos Rodrigo }} | |
| − | = | + | =PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA= |
Se considera una solución en un tubo largo compuesta por dos sustancias de las cuales una de ellas es un contaminante. Se orienta el tubo en la dirección del eje x, desde x=0 hasta x=L, siendo L la longitud del tubo, cuyo valor es igual a 5 metros. Dicho tubo presenta sección transversal constante. | Se considera una solución en un tubo largo compuesta por dos sustancias de las cuales una de ellas es un contaminante. Se orienta el tubo en la dirección del eje x, desde x=0 hasta x=L, siendo L la longitud del tubo, cuyo valor es igual a 5 metros. Dicho tubo presenta sección transversal constante. | ||
| − | |||
Se denota por u la concentración de contaminante en cada posición del tubo, medida en mol/m<sup>2</sup>s. La concentración es la misma en cualquier punto de la sección transversal del tubo. Por tanto, va a depender únicamente de dos variables u=u(x,t). | Se denota por u la concentración de contaminante en cada posición del tubo, medida en mol/m<sup>2</sup>s. La concentración es la misma en cualquier punto de la sección transversal del tubo. Por tanto, va a depender únicamente de dos variables u=u(x,t). | ||
| Línea 18: | Línea 17: | ||
Dado que la sección del tubo es constante, la concentración del contaminante va a depender únicamente del tiempo y el número de moles, siendo éste último proporcional a la masa de la sustancia. | Dado que la sección del tubo es constante, la concentración del contaminante va a depender únicamente del tiempo y el número de moles, siendo éste último proporcional a la masa de la sustancia. | ||
| − | + | Teniendo en cuenta el principio de conservación de masa, se deduce, que la variación de la concentración de contaminante en cada posición del tubo en función del tiempo, es igual a la suma del flujo de contaminante a través de los extremos del tubo por unidad de tiempo, más la concentración de contaminante generada en el interior por unidad de tiempo. | |
Al ser nulo el último sumando, la variación de u va a estar influenciada únicamente por el flujo de contaminante. | Al ser nulo el último sumando, la variación de u va a estar influenciada únicamente por el flujo de contaminante. | ||
| Línea 26: | Línea 25: | ||
donde D es el coeficiente de difusión (medido en m<sup>2</sup>/s), que depende de las propiedades químicas de los compuestos, y que se supone constante D=1. | donde D es el coeficiente de difusión (medido en m<sup>2</sup>/s), que depende de las propiedades químicas de los compuestos, y que se supone constante D=1. | ||
| + | |||
| + | =MODELIZACIÓN DEL PROBLEMA= | ||
| + | |||
| + | |||
Suponiendo que Δx>0 y la concentración de contaminante en un tiempo t es menor en x+ Δx que en x, entonces u(x+ Δx) – u(x,t) < 0, y si Δx (anchura de una sección del tubo) es pequeño, se tiene que ux(x,t)<0 y el flujo de difusión del contaminante es positivo y va hacia la derecha en la dirección del eje x. | Suponiendo que Δx>0 y la concentración de contaminante en un tiempo t es menor en x+ Δx que en x, entonces u(x+ Δx) – u(x,t) < 0, y si Δx (anchura de una sección del tubo) es pequeño, se tiene que ux(x,t)<0 y el flujo de difusión del contaminante es positivo y va hacia la derecha en la dirección del eje x. | ||
| Línea 38: | Línea 41: | ||
| − | |||
| − | + | =Sistema de ecuaciones que satisface la ecuación de concentración de contaminante= | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
Revisión del 20:00 15 may 2014
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Difusión de una sustancia contaminante. Grupo 3B |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2013-14 |
| Autores | María Bartol Calderón
Rodrigo Bellot Rodríguez Margarita Santiago Ruiz Rocío Santos Rodrigo |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Se considera una solución en un tubo largo compuesta por dos sustancias de las cuales una de ellas es un contaminante. Se orienta el tubo en la dirección del eje x, desde x=0 hasta x=L, siendo L la longitud del tubo, cuyo valor es igual a 5 metros. Dicho tubo presenta sección transversal constante.
Se denota por u la concentración de contaminante en cada posición del tubo, medida en mol/m2s. La concentración es la misma en cualquier punto de la sección transversal del tubo. Por tanto, va a depender únicamente de dos variables u=u(x,t).
Se designa por F(x,t) el flujo de difusión del contaminante, siendo éste la cantidad de sustancia contaminante que fluye por unidad de tiempo y unidad de área. La superficie del tubo está aislada, por lo que solamente hay flujo de contaminante en la dirección del eje x. En los extremos se coloca un aislante que hace que F(x,t) al exterior del tubo sea nulo.
Dado que la sección del tubo es constante, la concentración del contaminante va a depender únicamente del tiempo y el número de moles, siendo éste último proporcional a la masa de la sustancia.
Teniendo en cuenta el principio de conservación de masa, se deduce, que la variación de la concentración de contaminante en cada posición del tubo en función del tiempo, es igual a la suma del flujo de contaminante a través de los extremos del tubo por unidad de tiempo, más la concentración de contaminante generada en el interior por unidad de tiempo. Al ser nulo el último sumando, la variación de u va a estar influenciada únicamente por el flujo de contaminante.
La ley de Flick establece que el flujo de difusión del contaminante es proporcional a la variación de concentración: [math]F(x,t)=-D\frac{\partial u}{\partial x}[/math]
donde D es el coeficiente de difusión (medido en m2/s), que depende de las propiedades químicas de los compuestos, y que se supone constante D=1.
2 MODELIZACIÓN DEL PROBLEMA
Suponiendo que Δx>0 y la concentración de contaminante en un tiempo t es menor en x+ Δx que en x, entonces u(x+ Δx) – u(x,t) < 0, y si Δx (anchura de una sección del tubo) es pequeño, se tiene que ux(x,t)<0 y el flujo de difusión del contaminante es positivo y va hacia la derecha en la dirección del eje x.
Utilizando la ley de Flick y aplicando el principio de conservación de masa, se deduce que la concentración de la sustancia contaminante en una sección del tubo que dista x del extremo x=0, cuando pasa un tiempo t debe satisfacer:
[math]u_t(x,t)=-\frac{\partial }{\partial x}(-D u_x(x,t)) = D u_xx(x,t)[/math]
Imponiendo que D es el coeficiente de difusión y su valor es la unidad, la ecuación de difusión que describe cómo la sustancia contaminada se dispersa, queda de la forma:
[math]u_t(x,t)- D u_xx(x,t)= 0[/math]
